Saturday, March 17, 2007

Electromagnetismo de kaluza-klein

Nivel:Doctorado de física teórica (o nivel avanzado de licenciatura)

Voy a exponer cómo la teoria clásica del electromagnetismo puedes surgir de las dimensiones adicionales . Es lo que se conoce como el modelo de Kaluza allá por el 1919, con la RG recién salidita del horno.

Antes de ello hablar un poco del electromagnetismo en si mismo. La idea es sencilla, existen en la naturaleza unos campos E y B (eléctrico y magnético respectivamente) que afectan a unos cuerpos que tiene la caracterísitca de estar cargados electricamente. Y sí, no me he equivocado he dihco solo electricamente, no hay cargas magnéticas. La propiedad de algunos cuerpos de reaccionar a un campo magnético se debe a que dentro de ellos hay partículas electricas en una especie de movmiento interno. Y se sabe que son esas cargas eléctricas en movimiento las uqe generan que un cuerpo este "cargado" magnéticamente, un poco lioso la verdad. En realidad existe la posibilidad teórica de cargas magnéticas (monopolos magnéticos) y de cuerpos con ambos tipos de carga, eléctrica y magnética (conocidos cómo dyones).

En todo caso el campo eléctrico y magnético se describen por las ecuaciones de Maxwell:

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dónde rho es la densidad de carga y j la densidad de corriente (la corriente esta asociada a que la carga se desplaza).

Bien, estas ecuaciones implican a los campos. Pero esos campos pueden derivarse de unos potenciales. La idea "sencilla" es que la variacion de esos campos en el espacio de un punto a otro es lo que genera que haya una fuerza. Esa "variacion de un punto a oro" se traduce en la derivada, claro. Así pues podemos expresar E y B en términos de un potencial (tri)vector A y un poencial escalar V. Con estos podemos formar un cuadripotencial vector A4=(-V,A3).

La expresion exacta de los E y B en términos de los A y V es:





Lo intersante es que esas ecuaciones que definen E y B en términos de A y V no cambian si modificamos :





Dónde aquí G es una funcion arbitraria de x,y,z, t. Pués bien, es esta indeterminacion de los capos en términos de los potenciales lo que se conoce cómo invarianza gauge. En el caso del electromagnetismo surgió de manera "ad ho". Venia incorporada al introducir el concepto de potenciales. En otro post veremos cómo se puede relacionar esa invarianza con una invarianza ajo fases locales de una funcion de onda cuántica. Pero hoy seremos "clásicos" y veremos cómo puede hacerse surgir esto de una teoria clásica, aunque sea de la gravedad Einsteniana, que sí, es clásica, peor no por ello sencilla o carente de interés.

El modelo de Kaluza parte de considerar un espacio de 4 dimensiones espaciales y una temporal y compactificar en un cícrculo una de las espaciales. Denoto con M, N índices en 5 dimensiones y con en 4.

Tenemos por tanto una métrica en 5 dimensiones que vista desde 4 dimensiones se descompone del siguiente modo:

1. La métrica habitual en 4 dimensiones.

2. Un campo vectorial en 4 d.

3. Un campo escalar en 4 d.

Denotamos x4 cómo y. Kaluza impusó la siguien condicion:

4.

¿Por qué? Bien, esto simplemente implica que los campos no dependen de la coordenada y. Por supuesto la coordenada y esta compactificada a un círculo, es decir se identifican los puntos e .

Cómo puede sospecharse facilmente adónde queremos llegar es a que se puede identificar el campo vectorial de la ecuacion 1 con el cuadripotencial del campo electromagnético .

Para que la idea funciones se expande la métrica en términos de una serie de Fourier en la coordenada y:

5.

Bien, en este punto mis conocimientos de Latex me juegan una mala pasada (y no tengo tiempo ahora de mirar los detalles) pero voy a ver si me explico. Lo que se hace es una parametrizacion de la métrica, digamos una descomposicion en la que queda:

6.
7. (y el antisimétrico)
8.

y dónde

Bien, esta es la metrica, pero la métrica es sólo parte de la historia. Lo que nos da la dinámica es la acción. Partimos de la accion para la ecuacion de Einstein en 5 d que basicamente, y salvo factorcillos, es la integral de el escalar de Ricci asociado a esa métrica.

Lo interesante es que en las ecuaciones 6,7, 8 hemos descompuesto la métrica 5 d en érminos de cantidades 4d.Si calculamos el escalar de Ricci manteniendo explicitamenet la presencia de esos campos 4 d obtenemos que la accion queda de la forma:



Dónde es cómo podriá esperarse el tensor campo electromagnético asociado al cuadrivector Y G es la constante gravitatoria en 5 dimensiones.

Así pués la inavarianza bajo GCT (general coordinates transformations) de la gravedad en 5 dimensionesse traduce en que cuando una cordenada se compactifica en la aparicion de un campo que cumples las mismas ecuaciones que el campo electromagnético y que por tanto tiene una invarianza gague local. Es decir, una invarianza "interna" aparece en este formalismo como una consecuencia de una invarianza "externa" al compactificar.

No he puesto todos los detalles, que llevaría mucho tiempo, pero espero que con esteo se coja bien la idea.

De todos modos esta idea es sólo una pequeña parte del asunto de la compactificaion. Nos hemos ocupado solamente de que pasa cuando la métrica se compactifica, pero ¿que pasa cuando se copactifica un campo cúantico fermionico sin masa? Más iteresante aún ¿que pasa si se compactifica un campo que ya en 5 dimensiones es un campo gauge?

En fín, muyrico el mecanismo este de la compactificación, sirva este post para cojer una mínima idea de las posiblidades y complejidades que conlleva.

P.S. Espero que el Latex vaya, sino ya lo corrigo en otro momento, que en cuanto envie el mensaje me tengo que ir y claro, no voy a poder corregirlo hasta como muy pronto mañana por la tarde.

P.S. 2. Me voy, claro esta, a ver el DJ set de Wendy James, por si alguien tenia la más mínima duda ;-).

1 comment:

Reina said...

Good post.