Loop quantum Gravity (I)

He hablado por aquí de la loop quantum gravity pero hasta ahora no había explicado nada de ella. A raíz de empezar a participar en un foro de CF, www.sedice.com, me encontré con que me pidieron un post sobre el tema. He aquí la primera parte del mismo (ligeramente retocada). Aviso, en el post se repiten algunas cosas que ya he explicado, y mas extensamente aquí, pero creo que no viene mal tenerlo todo junto.

Respecto a los conocimientos previos voy a intentar abarcar varios espectros de lectores. a todos ellos les asumiré una cierta familiaridad con la cuántica y con la relatividad general cuanto menos a un nivel elemental. Pero también tendré en mente a quien tenga una sólida base en física y no conozca este campo concreto. Imagino que cada cuál podrá sacar de párrafos concretos una idea que estará en función de su nivel. Y tras estos prolegómenos vamos con el tema.

Primero explico porque se investiga en estos temas. En la física establecida tenemos dos grupos de teorías, unas que explican todos los datos experimentales relacionados con las interacciones en las que interviene las fuerzas electromagnéticas y las nucleares débiles y nucleares fuertes. Estas son teorías cuánticas. Para ser concretos son teorías cuánticas relativistas. Están son bastante distintas de las teorías cuánticas "ordinarias". Paso a explicar porque pues es relevante y me sirve par introducir unos conceptos que usaré más adelante.

En cuántica no relativista el problema tipo es resolver la ecuación de Schröedinger independiente del tiempo. Esta es una ecuación en derivadas parciales para una función de onda. Una vez resuelta se tiene la expresión matemática de esa función de onda que nos da información sobre el sistema, los observables (energía, momento angular total, momento angular en el "eje z" y spin normalmente). La solución a esa ecuación no va a ser casi nunca única y va a haber una familia de funciones de onda. Cada una tendrá sus propios valores de los observables.

He usado la expresión "ecuación de Schröedinger". Esto es correcto, pero conviene resaltar un punto. No hay una sola ec de Schrëdinger. Par cada sistema físico hay una. Por "sistema físico" me refiero a situación física bajo estudio. Si estoy estudiando el átomo de hidrógeno esa ecuación tendrá un término que haga referencia al potencial culombiano. Si estudio el oscilador armónico habrá un término que haga referencia al potencial armónico. Esto es un poco lioso si sólo vemos la ecuación como una ecuación en derivadas parciales. Las cosas se aclaran más introduciendo algunos conceptillos.

En mecánica clásica newtoniana tenemos la famosísima ecuación de movimiento F=m.a. (fuerza igual a masa por aceleración) que es una ecuación diferencial. Ahí al igual que en cuántica, tenemos que F varía de un sistema físico a otro. Aunque útil la ec. de Newton es un poco latosa de usar en muchos casos prácticos. Por eso surgieron otros formalismos matemáticamente equivalentes. Hablaré del lagrangiano y el Hamiltoniano.

La idea del Lagrangiano es escribir una expresión que representa el sistema físico. Y a partir de esa expresión dar un "algoritmo" que permita obtener las ecuaciones de movimiento. Para sistemas clásicos este lagrangiano normalmente va a ser de la forma:

1. L= T-V

Aquí T es la energía cinética y tiene la forma T=1/2mv ² y V es el potencial en el que se mueve la partícula. Cómo sabréis, espero, la velocidad es la derivada respecto al tiempo de la expresión que nos da la posición de la partícula en un momento dado.

Bien, este lagrangiano es clave en mecánica clásica y en teoría cuántica relativista. En teoría clásica porque se extraen de el las ecuaciones de movimiento (y otra información) En teoría cuántica relativista (a partir de ahora QFT, i.e. quantum field theory) aparte de las ecs. clásicas se obtiene a partir de el Lagrangiano muchas otras cosas (cantidades conservadas, elementos de matriz S, etc) mediante otros procedimientos. Aprovecho ya para indicar una diferencia. Hay un lagrangiano para una partícula y un lagrangiano para un campo. El lagrangiano de una partícula da, como dije, las ecuaciones de Newton. El lagrangiano para un campo da las ecuaciones de campo. Por ejemplo se puede escribir un lagrangiano cuyas ecuaciones clásicas son las ecuaciones de Maxwell del electromagnetismo. Para ser precisos se habla de lagrangiano para una partícula y de densidad lagrangiana para un campo, pero no siempre es necesario precisar tanto. Es importante señalar que el lagrangiano de un campo no siempre tiene la estructura de la ecuación 1. Por ejemplo el del campo electromagnético no tiene esa estructura.

Bien, dije lagrangianos y hamiltonianos. Aún no he hablado del hamiltoniano. En realidad todos habéis visto, en cierto modo, el hamiltoniano. El hamiltoniano s una expresión para la energía. En el caso sencillo de una partícula moviéndose en un potencial el análogo de la expresión 1 será:

2. H= T +V

Voy rápidamente con matizaciones muy importantes. El hamiltoniano es más que la expresión de la energía. Tanto en mecánica newtonina cómo en Lagrangiana se pueden obtener expresiones para la energía que son de la forma 2. Así pues hay más truco. Primero aclaro que es la energía. En formalismo lagrangiano es "una integral primera de las ecuaciones de movimiento". Intuitivamente puede verse que ciertos sistemas, los no disipativos, conservan una magnitud en su evolución temporal, esta magnitud conservada es la energía.

La clave que diferencia el formalismo hamiltoniano del lagrangiano y que es fundamental en LQG es que en el formalismo hamiltoniano se expresa la energía no en términos de las velocidades sino en términos de los momentos. Explico esto para la partícula libre (i.e. V=0). En este caso L= 1/2 m.v² . Bien, todos habréis oído hablar del momento lineal, denotado p. Y recordareis que tiene la expresión P=m.v. Así pues podemos despejar v en función de p, i.e. v=v/m. Si sustituimos en el lagrangiano nos da H=(1/2m). P².

Bien, esto tan sencillo aparentemente oculta muchísimas sutilezas que son claves tanto en teorías gauge como en LQG. Para empezar todos sabéis que es el momento he dicho. ¿Seguro? En realidad no es tan sencillo. El momento tiene una definición técnica, una derivada parcial del Lagrangiano respecto a la velocidad (con una variante adecuada para densidades lagrangianas relativistas y no relativistas).

Técnicamente el Hamiltoniano surge de una "transformada de Legenddre" del lagrangiano, pero a efectos prácticos puede verse cómo una expresión obtenible del hamiltoniano mediante una operación matemática sencilla (que en el caso de la partícula clásica se traduce en el cambio de la expresión 1 por la expresión 2) y la sustitución de las "velocidades" por "los momentos".

El primer paso puede implementarse sin (excesivos) problemas en cualquier teoría. El segundo ya no. ¿Por qué? Pues porque la sustitución de las velocidades por los momentos puede no estar definida de manera única. Aparecen lo que se llaman ligaduras. Aclaro, algunos habrán estudiado ya lagrangianos y hamiltonianos en mecánica clásica (y a estas alturas estarán aburridos cómo una ostra). Allí hablan de ligaduras y de que el lagrangiano permite escribir las ecs de Newton en "coordenadas generalizadas". Bien, esas ligaduras no son las mismas conceptualmente a las que acabo de introducir.

Vamos un poco más con las ligaduras. En mecánica clásica casi no hay sistemas con ligaduras. En cuántica relativista las hay siempre en los casos mas interesantes. Y esto es porque las famosas (espero) teorías gauge son teorías con ligaduras. El electromagnetismo clásico es una teoría gauge. Y tiene una ligadura. Esta ligadura os sonará, se suele conocer cómo la ley de Gauss y se conocía mucho antes de que Dirac introdujera el concepto de ligadura para sistemas cuánticos (con intención, precisamente, de tratar la gravedad).

Volveremos más tarde con las ligaduras, pero retomemos la cuántica. Ahí deje pendiente ver que era la ecuación de Schröedinger. Pues bien, la ecuación de Schröedinger independiente del tiempo es lo que se conoce cómo una ecuación de auto-valores si se expresa en términos del Hamiltoniano, en concreto:

3 .Hφ = λ.φ ( φ denota la función de onda)

Por supuesto ahora el hamiltoniano es el hamiltoniano cuántico. Este se obtiene del clásico sustituyendo el momento clásico p por el operador momento (básicamente la derivada con respecto a la posición) y la coordenada de la partícula (que suele aparecer en el potencial) por el operador momento (en realidad ahí casi no hay cambio en la notación, aunque sí en el concepto, ahora la coordenada multiplica a la función de onda).

Esta es la ec. independiente del tiempo. La dependiente del tiempo nos dice que la derivada (parcial) de la función de onda respecto al tiempo es igual al hamiltoniano actuando sobre la función de onda.

Dije al principio que esto es para cuántica no relativista. ¿que pasa con la cuántica no relativista? Ya anticipe algo, pero voy ahora con ello.

Por culpa del famoso E=m.c² tenemos que si hay suficiente energía se pueden formar partículas. De hecho como existen partículas sin masa en reposo, por ejemplo los fotones, siempre pueden formarse partículas. Es decir, no hay un número fijo de partículas en el sistema. La cuántica "ordinaria" esta bien para tratar con un número fijo de partículas (en muchos casos con una sola) pero no con un número indeterminado. Por esto, y por otros motivos que no trataré, en cuántica relativsta uno ya no se ocupa de calcular funciones de onda. Ahí lo que se busca es calcular probabilidades de transición (elementos de matriz S). Es decir, la probabilidad de que si en un instante de tiempo (formalmente t en el infinito pasado) hay una serie de partículas incidentes que chocan (interaccionan) en un tiempo posterior (formalmente en infinito futuro) dan por resultado una serie de posibles partículas resultantes. Hay, normalmente, varios resultados posibles para las partículas resultantes, cada uno con su probabilidad. También hay que considerar las distribuciones angulares en que salen despedidas esas partículas. Estrictamente el estudio de choques no es exclusivamente relativista. Existe matriz S para cuántica no relativista. Pero el aso es que el formalismo matriz S es mucho mas importante en QFT. Por cierto, experimentalmente no se obtiene la matriz S sino una magnitud relacionada llamada sección eficaz de dispersión.

Bien, vamos con un aspecto muy importante. Las partículas incidentes y resultantes se corresponden con estados descritos por sistemas de partículas libres (en el infinito pasado e infinito futuro las partículas no interaccionan). En la región de transición "reina" el término de interacción. Los cálculos de las interacciones son complicados. Feynman, para ayudar a entenderlos , y también efectuar los cálculos, introdujo el concepto de partícula virtual. Este es muy importante. La idea es que un fotón y un positrón (por ejemplo) interactúan intercambiando un "fotón virtual" que es la partícula mediadora.

Bueno. un larguisimo post y aún no he dicho nada de LQG. Muchos ya conoceis lo que he expuesto (supongo). Pero necesitaba introducir en un contexto mas sencillo una serie de coneptos que os permitirán entender mejor la LQG. Vamos ya con ello, que ya es hora.

La relatividad general, que describe la gravitación, es una teoria clásica, i.e. no cuántica. De hecho es la unica interacción que hay que no es cuántica. Eso es raro. Uno podriá pensar que "el universo es así". Y además los fenomenos cuanticos que involucren a la gravitacion son muy irreleantes a efectos prácitos (bueno, eso dicen xD). Pero tratar a la vez fenomenos cuánticos y fenomenos gravitatorios de forma clásica es inconsistente. Así que definitivamente hay que buscar una gravitación cuántica (o alguna alternativa, la que sea).

Aqúi ya vamos a hacer una importante excisión. De un lado hay fisicos expertos en QFT. De otro expertos en RG (relatividad general), y cada uno "barre para casa". Los QFT, empezando por Feynman, intentaron plantear la gravedad cómo una QFT. Al igual que le fotón media la interaccion lelectromagnética (y los diversos bosones intermedios las otras interacciones) debia haber un mediador de la gravedad. El famosos gravitón. ¿Cómo obtener el gravitón?

Hay dos caminos. Por consideraciones técnicas se sabe que debe ser una particula de spin 2 (los bosones de las otras interacciones, fotón, gluones bosones W+- y Z) son de spin 1. Si se parte de un Lagrangiano para una partícula de spin 2 en un espacio plano (sin gravedad) y se aplican ciertas condiciones de consistencia se llega a una recursion que termina lelvando a las ecuaciones de Einstein (hay ahí muchas sutilezas, claro).

Otro camino es partir de las ecuaciones de Einstein. Voy a tratar este con calma porque es clave para la LQG. La relativdad especial se describe (en el formalismo de Minkowsky) por una métrica en un epsacio de 4 dimensiones (la cuarta es c.t, dónde c es la velocidad de la luz yt el tiempo). Esta métrica es "plana". Para entendernos, constante. Siempre puede reducirse (mediante un cambio de coorenadas), para cualquier punto a la forma de una matriz diagonal (-1,1,1,1). El campo gravitatorio modifica esa métrica y aunque localmente siempre puede reducirse a esa forma globalmente no. Digamos que vamos a tener una métrica dónde cada elemento de matriz es una función de las coordenadas y el tiempo.

Aclaro que es una métrica. es un objeto matemático (matriz, tensor, forma diferencial, depende del formalismo, pero para entendernos matriz nos vale) que permite medir longitudes de vectoes. La lingitud de un vector ordinario es |v|=sqrt(vx² + vy ² +vz²). Pués bien, si el vector tiene cuatro dimensiones su métrica será algo que genralizará esa expresion. y nos permite calcular su longitud. A partir de la longitud de dos vectores podemos calcular el ángulo que forman. Y midiendo ángulos podemos comprobar si vivismo en un espacio plano o en uno curvo. Vale, hasta aquí una minidivlgación de relatividad. Seguimos.

Las ecuaciones de Einstein son unas ecuaciones para la métrica. unas ecuaciones diferenciales. nos relacionan unas derivadas de la métrica, que representan la curvatura del espacio-tiempo con un término que reperesnta la energía (y por tanto masa) de la materia. Formalmente:

4. Curvatura= Tensor enegía momento.

Einstein llegó a esta ecuación mediante algo llamado "desviación geotética", pero no nos ocupamos ahora de eso. Son, las ecuaciones de Einstein, unas ecuaciones no lineales complicadas, que implican muchos conceptos resbaladizos y etc. Pero si recordais el principio de este post reocrdareis que os dije que la ec de Schröedinger vista sólo como ec perdía. Se ganaba mucho viéndola como proveniente de un hamiltoniano. Y este hamiltoniano proviene a su vez de un lagrangaino. ¿Existen lagrangianos y hamiltonianos para las ecs. de Einstein? Ahí queria yo llegar (de hecho podría haber empezado el post por aquí).

Lagrangianos si hay. Es fácil llegar a ellos. De hecho a mi me explicaron la RG partiendo de un Lagrangiano cuya expresion se obtenía por consideraciones de simetria (y "un poquito" de goemetria diferencial xD). A partir de ese Laggrangiano por las ecs de Euler-Lagrange se llegaba a las ecuacioens de Einstein. Vale, lagrangianos sí, ¿y el hamiltoniano? Uff, eso es otra historia, y el corazón de parte de la LQG. Pero antes otro inciso.

Os dije que los QFT querían gravedad a partir de particulas virtuales, el gravitón. Bien, el graviton ellos lo identificaban, en el formalismo geométrico, cómo una perturbación de la métrica. Formalmente g_μν=nsub>μν + hsub>μν (g es la métrica general, n la de minkowski y h la peerturbación o gravitón. La idea es expresar el lagrangiano de la RG en términos de esta división de la métrica y considerar la v cómo un campo. Este es un campo que se corresponde a una particula de spin 2. En realidad se puede usar este formalismo considerando perturbaciones respecto a métricas curvas. El primero en introducir esta idea fué Feynman y el primero en desarrollarla formalmente fué Bryce de Witt con el método del campo de fondo.. En QFT se pueden usar tanto el lagrangiano como el hamiltoniano para obtener matriz S. De Witt obtuvo mediante esta descomposición elementos de matriz S para el campo gravitatorio, eso sí de un modo muy lioso. Mas adelante t´hoof y Veltman (y luego otros) usaron los métodos de las por entonces triunfantes teorias gauge para expresar lo mismo en formas ligeramente mas sencillas.

Un momento, ¿he dicho que de Witt obtuvo expresiones para la matriz S? Entonces ¿no acaba ahí la historia? Pues no, claro. El problema es que esas expresiones llevaban a resultados infinitos. En realidad nada nuevo, las QFT siempre llevan a resultados infinitos. Lo que pasa es que algunas QFT permiten que se eliminen esos infinitos (son renormalizables) otras no. Las no renormalizables se consideran inútiles. Y la RG cuantizada de este modo salió no renormlalizable. La gente de QFT se encontraron, trabajando con la cromodinámica cuantica, con la necesidad (o mas bien conveniencia) de cuantizar objetos unidimensinonales, digamos cuerdas. Tras una serie de vueltas rocambolescas se vió que esas cuerdas tenían por ahí un graviton y ya se lió. Treinta años de teoria de cuerdas sin ningún resultado práctio, pero eso es otra historia, que díria el cornista de Conán el bárbaro.

Los puristas de RG vieron que esa cuantización de perturbaciones a la métrica desde su perspectiva era muy poco fiel al espíritu de la RG. Así que no les sorprendía que diera una teoria inconsistente. Así pués buscaron una teoria no perturbativa. Pero antes, mucho antes, buscaron un hamiltoniano. Ahí una vez mas tenemos a Bryce de Witt (el mismo que dirigió la tesis a Everet de la que surgió la interpretación de los muchos mundos de la mecáncia cuántica). Sin embargo este formalismo se conoce como formalismo ADM (Arnowitz, Desser Misner). Ellos trabajaron en este tema motivados por un aspecto interesante de la RG. Enel resto de teorías la energía es un concepto bien definido. En RG sin embargo no lo es. Una definición tentativa usa lo que se conocen como "pseudotensores" (expresiones que son tensoriales unicamente bajo un grupo restringido de transformaciones) como por ejemplo el de Landau-lipshitz, pero no son aplicables en general, y además no son nada elegantes. Se supone que el hamiltoniano debería dar una definición correcta de la energía aplicable en cualquier caso. En realidad no tuviern un éxito total, pero para casos asintóticamente minkowskianos funciono y dió lugar a lo que se llama masa ADM de un espacio-tiempo

Bien, obtener un hamiltoniano es muy compicado para la RG. Se tiene que seguir una serie de pasos un tanto sorprendentes. Lo primero es descoponer el espacio-tiempo en un producto (foliación) de espacio y tiempo (no entraré en conceptos de topologia), formalmente pondré T=ExR.

Bien, lo siguiente es intrudocur una métrica para el espacio tridimensional curvo E (o más bien una familia de espacios, uno para cada valor de la coordenada "temporal"). Aparte hay una función de paso entre el espacio en un "instante" t1 y uno t2 que se descompone en:

5. T= N +uS

Aquí T ya no es la energia cinética. Y hay subíndices varios de por medio que omito poner. Indico simplemente que N es la función de lapso y que S es el vecotr de desplazamiento (de una hipersuperficie a otra).

Bien, el truco consiste introducir una métrica intrínseca y una curvatura intrínseaca (referente al espacio tridmensinoal E) y expresar la métrica y curvatura en 4 dimeniones en términos de esta métrica y esta curvatura. La curvatura intrinseca se expresará en términos de las funciones lapso y vecotr desplazamiento indicados anteriormente. Pués bien, una vez hecho esto podeos plantear un lagrangiano en términos de estas nuevas variables. El lagrangiano "normal" no tiene nada clamanete identificable con "velocidades" o "momentos" que nos guien a buscar un hamiltoniano. El lagrangiano expresado en estas variables sí (no puedo entrar en detalles de que es cada cosa por motivos de las limitaciones para escribir fórmulas, y además tampoco aportaría mucho teniendo en cuanta que lo que estoy viendo ahora es un paso intermedio hacia la LQG)

Pero claro, no todo iba a ser tan fácil (cómo si hasta aquí hubiera sido fácil xD). Este lagrangiano es singular. Es decir, que los momentos no pueden despejarse a partir de las vleocidades. Hay ligaduras. Pero con ligaduras o sin ellas puede hber un hamiltoniano. el hamiltoniano contien lgaduras.

Ahora cuento una cosa que no conté en su momento. Un hamiltoniano con ligaduras tiene dos tipos de ecuaciones. Las normales hamilton y las deligadura. Como, eso sí, dije las ecuaciones de ligadura para el campo electromagnético es la ley de gauss. Esas ecuaciones de ligadura relacionan estados fisicos equivalentes. La otra parte del hamiltoninao que no es ligadura, dicta la evolución temporal de los estados físicos.

Pués bien, en RG tenemos un "pequeño problemilla". Resulta que el hamiltoniano no tiene ni una sola parte que no sea de ligadura. Por tanto no hay evoución temporal.

Bien, ya casi tenemos planteado el quid de la cuestión. El hamiltoniano este tiene dos ecuaciones de ligadura. una viene a representar la invariancia bajo cambio de coordenadas de la RG (invariancia bajo difeomorfismos dicho de otro modo).Es una ecuacion relativamente sencilla. La otra ec. de ligadura es mucho mas compleja, es no polinomial. Y tiene nombre propio. Se llama ecuación de Wheeler de Whitt. Viene a prepresentar la "fisica" del sistema.

Esta ecuacion es dificilisimas de resolver. Sólo en casos muy sencillos hay soluciones aproximadas. Son lo que se conocen como modelos de "miniespacio" o "minisuperespacio" (nada que ver con la supersimetría pese al nombre).

Bien, antes de exponer mas cosas voy con el Lagrangiano. Para ser exactos con el lagrangiano "normal". No he dicho nada pero el tratamiento de la QFT basado en lagrangianos parte de la integral de caminos de Feynman. La idea intuitiva es que una partícula cuántica recorre todas las trayectorias entre un punto y otro. Cada trayectoria contribuye a la integral de camino con un factor de exponencial imaginaria, e^-iS< dónde S es la acción(la integral del lagrangiano a lo largo de la trayectoria). De ese modo los estados que cumplen las ecuaciones clásicas son los que más contribuyen-los siguentes que mas contribuyen, si los hay, son los instantones-). Bien, esto para particulas puntuales. Un campo pasa por todas sus congiguraciones posibles y etc. Los detalles son terribles, claro. Aunque conceptualmente delicada y matemáticamente no muy bien definida la integral de caminos es muy potente para generar elementos de matriz S. Las teorias de campos gauge se cuantizan normalmente en formalismo lagrangiano (aunque también pueden cuantizarse con hamiltonianos) + integral de caminos.

Bien ¿puede aplicarse la integral de caminos a la RG? Ya dije que en forma perturbativa es lo que se habia hecho. Pero Hawking usó una pequeña variante, lo que se conoce como euclidean quantum gravity en que rota a un tiempo imaginario. La integral de caminos es casi incalculable para la RG, pero para ciertas configuracioens sencillas puede calcularse en una aproxiamción conocida cómo aproximación WKB (wenzel krammers brillouin). Y, curiosamente, esta aproximación nos lleva a una ecuación que, "curiosamente", es la ecuación de Wheller de Witt.

Nota, hasta ahora no he dado ninguna bibiliografía, creo que es hora de recomendar algo. Para el tema de la eucidean quantum gravity hay libros enteros, pero no me parece que merezca la pena leerlos pués no parece tener un gran futuro. Pero hay un librito que recoge unas conferencias de Hawking y Penrose que tratan en parte estos temas y que es fino, i.e. no muy extenso, y muy agradable de leer. Se llama "la naturaleza del espacio y el tiempo". La formulacion ADM de la gravedad viene explicad en los apéndices del famoso Wald De relatividad general.

Bien, pués hasta aquí por ahora. He introduicdo una seie de conceptos uqe situan el origen de la LQG, plantenan las dificultades que había en un momento dado. En otro futuro post indicaré cómo desde la via hamiltoniana se introducen unas nuevas variables (en vez de la méetrica la conexión) que dan un hamiltoninao de una estructura de ligaduras más secnila que puede resolverse en términos de funciones cilíndricas la primera y de spin networks la segunda (y explicaré como los lazos, willson loops, también resolvian esas ligaduras en versiones mas antiguas de la LQG). Explicaré cómo ese formalismo permite deducir que el área esta cuantizada. Explicaré que esa cuantizacion permite calcular la entropia de un agujero negro.

Tambien comentaré que en casos sencillos (siemtrias)hay variantes mas simples de la LQG que se aplican a la cosmologia (loop quantum cosmology) y a las singularidades de los agujeros negros. Expicaré el problema del tiempo en LQG canónica. Y explicaré que ese problema, entre otros motivos, lleva a otro punto de partida, las spin foams, que son una especie de version lagrangian y de integral de caminos de la LQG canínica (basada en hamiltonianos). Pero comentaré que los lagrangianos allí usados no son exactamente el deEinstein sno "más o menos equivalentes" y que hay varias aproximaciones.

También explicaré que hay el problema del limite clásico. No se puede a partirdel hamiltoninao llegar a un graviton a a un espacio de Minkowsky,y por tnto conectar con la RG clásica. En spin foams hay un cálculo de un propagador de un graviton, que sí daría esa conexión.

Y por supeusto explicaré las crícitas que les hacen los de cuerdas a la LQG.