Breviario de goemetría no conmutativa

¿Que es esto de la geometría no conmutativa? La respuesta varía un poco dependiendo a quien preguntes, un matemático o un físico. Un matemático dirá algo así cómo que es algo relacionado con la geometría algebraica y enseguida te atacará con un montón de álgebra abstracta. Un físico empezará por mencionar la mecánica cuántica (que raro xD) y te dirá algo del estilo: "El principio de incertidumbre de Heisemberg indica que los operadores posición y momento no conmutan, i.e. [x,p]= ih, esto puede verse como una incapacidad para resolver un área en el espacio de fases del orden de la longitud de planck. Bien, pues la idea de que el campo gravitatorio pueda estar cuantizado podría implicar que algo así deba aplicarse para los operadores de posición, es decir [x,y]=ih, que, análogamente a lo anterior, significa que no podemos resolver un area, esta vez enel espacio 'real' menor que la longitud de Planck".

Bien, esto para empezar, cosas así ya se le ocurrieron a Heisenberg tiempo ha, luego hay que ver como implementar esa idea. Y ahí toman contacto las ideas de físicos y matemáticos.

¿Como podemos caracterizar los puntos de una variedad? (una variedad es la descripción matemática del espacio-tiempo de la física) Bueno, cualquier geómetra algebraico dirá "por sus funciones las conoceréis". Vamos, que ellos se dedican a estudiar las características del espacio-tiempo mediante las funciones definidas en él. ¿Que características? Bien, suelen empezar por una cosa llamada cohomologia que permite estudiar característica globales de las variedades y ver cuando dos variedades son topologicamente equivalentes (pueden deformarse unas en otras de manera suave, es decir, sin romperse, bueno, al menos esto es para variedades "normales", no sé yo sí para variedades algebraicas abstractas la cosa es exactamente así). ¿Le sirve esto de algo a los físicos? Pues en principio la verdad es que no mucho. Al fin y al cabo estamos interesados en propiedades mas bien locales del espacio-tiempo, así que la cohomologia no sería una gran prioridad. Sería mas interesante ver lo que dije antes, implementar eso de que las coordenadas no conmuten.

¿Cómo usar las funciones de una variedad para que las coordenadas no conmuten? Bien, podemos caracterizar un punto de una variedad mediante los valores que toman en ese punto todas las funciones que están definidas en la variedad. Y a partir de ahí podemos definir cosas como las distancias entre punto y tal. Bueno, esta es una posibilidad, pero luego ya veré que se siguen caminos menos obvios. Pero de momento sólo he dicho que puedo caracterizar las coordenadas mediante funciones ¿cómo hago que las coordenadas no conmuten? Bien, fácil, haciendo que las funciones no conmuten, es decir, defino un producto no conmutativo de funciones, i.e.

Producto ordinario: f(x).g(x) / f.g=g.f <=> [f,g]=f.g - g.f=0

Producto no conmutativo: f(x)*g(x) / [f,g]= f*g - g* f ≠0

¿Y como defino yo productos de esos que tengan algo de lógica en física? Hay varias formas, la más sencilla es usando lo que se conoce como deformation quantization:

f*g=f.g + h/2{f,g} + O(h²)

dónde {,} es algún bilineal.

Bien, vamos a dar una forma concreta de ese producto no conmutativo. Antes puse que la motivación inicial era [x,y]=ih. En realidad debemos ser algo mas flexibles y tener algo del estilo:

[x_u,x_v]=θ_uv

El producto de funciones que nos dará esa relación para las variables en la variedad es:

(f*g)(x)= e^{iθ_uv∂_uy∂_vx}f(y)g(z)|y=z=x

Bien, vale, de acuerdo, ya tenemos un producto que nos implementa esta idea. ¿que podemos hacer con él?

Pues debemos hacer física. ¿Y que tenemos en física? Muy sencillo, tenemos que sobre la variedad hay campos, campos que son las funciones de onda que representan las partículas e interacciones fundamentales. Un momento ¿he dicho funciones? ah, pues sí, los campos son funciones, un tanto especiales por las características que implementan pero funciones después de todo, por tanto ya tenemos un modo de hacer notar a los campos físicos que viven en un mundo no conmutativo, por culpa de la gravedad cuántica y tal. Para ser exactos los campos los estudiamos mediante lagrangiano . Esos lagrangianos se forman con productos de campos (y derivadas de los mismos) Pues bien, sustituyanse los productos ordinarios de campos por productos no conmutativos y se tendrán teorías de campos no conmutativas. De hecho el producto no conmutativo puede expresarse en términos de operaciones convencionales y por tanto el efecto de la geometría no conmutativa es generar un lagrangiano diferente al habitual pero que se obtiene de él mediante este procedimiento. Pero si nos olvidamos de su origen es un lagrangiano como cualquier otro que puede proceder a meterse en algún "algoritmo de cuantización" y ver que pasa. Pues bien, este programa esta implementado para el modelo standard.

Ahora bien, las θ_uv esa ¿de donde salen? Las ponemos a mano? Ah, bueno, pero es que hemos dicho que todo esto viene de una teoría cuántica de la gravedad. Así pues las teorías de cuerdas (y tal vez la LQG) deberían tener algo que decir sobre esas θ_uv. y efectivamente, así es, al menos para las cuerdas (los de LQG esto lo tienen en pañales). Resulta que en el matrix model para la teoría M aparecen relaciones de no conmutación para las coordenadas, así que ya tenemos enlazada la geometría no conmutativa con las cuerdas . En realidad hay mas modos de enlazarlas, pero no hace falta ser exhaustivos.

Bien, he presentado el programa de la geometría no conmutativa desde un punto de vista de física (y he sido un tanto descuidado con detalles de rigor). Los matemáticos, en especial Alain Connes, implementan estas ideas en términos mas abstractos, construyendo análogos del operador de Dirac y cosas así, y introducen C* álgebras también. En el fondo son cosas equivalentes, pero cuadrar cosas entre ambos formalismos es una buena manera de asegurarse un dolor de cabeza.

En fin, estoy empezando con la NCG, así que puede que haya algún errorcillo conceptual por algún lado, si eso ya lo rectificaré cuando dé con él. Y la verdad, siendo entretenido el tema no sé si seguiré profundizando mucho en él. Eso sí, es una cosa que se supone que todo físico serio debe saber, así que no esta de más aprenderlo.