En un post anterior expuse con un cierto detalle la parte clásica de la cuerda bosónica, escribiendo su lagrangiano y explicando algunas de sus características (invarianzas y demás). Cómo expliqué allí ese lagrangiano era poco más que una generalización del lagrangiano de una partícula relativista a una cuerda relativista. Si cuantizo ese lagrangiano (o su análogo supersimétrico) de alguna de alguna manera se obtiene la teoría de cuerdas convencional.
Una forma de ver la cuantización es la sustitución de la posición x y el momento p por unos operadores correspondientes que actúan sobre un espacio de Hilbert y que obedecen una serie de condiciones de conmutacion [Xi,Xj]=0, [Pi,Pj]=0, [Xi,Pi]= ihδij.
Bien, para la curda bosónica se pueden tomar como X´s as coordenadas del centro de la cuerda y cómo P´s los momentos de la cuerda e implementar esas relaciones de conmutación. Esto no siempre es transparente porque normalmente se ha hecho una descomposición en modos de Fourier de los modos de vibración de la cuerda y se proceden a imponer relaciones de conmutacción para los coeficientes de Fourier del estilo de las del oscilador armónicos, es decir, pasan a ser operadores de creación-aniquilación. Pero puede verse fácilmente que ambas dos cosas son la misma, usar coordenadas del centro de la cuerda o modos de Fourier son lo mismo.
Una teoría cuántica dónde se ha producido una cuantización de las coordenadas y el momento es una teoría de primera cuantización. La ecuación de Schröedinger de la cuántica no relativista es una teoría de ese tipo. Las ecuaciones de klein Gordon y de Dirac para partículas relativistas son de ese estilo también. La característica más destacada de esas teorías es que son teoría de un número fijo de partículas. Las interacciones entre esas partículas se introducen mediante potenciales dependientes de la posición (normalmente) de la partícula, cómo puede ser el potencial de un oscilador armónico (el de la ley de hook) o el de la ley de Coulomb.
Sin embargo hay casos en que el número de partículas no esta determinado. En cuántica no relativista esto ocurre para sistemas de materia condensada, para mecánica relativista el caso es mas serio pues la famosa relación de Einstein E=mc2 implica que a energías lo bastante altas pueden crearse partículas a partir de la energía. Digamos que las ecuaciones de Klein-Gordon y Dirac sirven para partículas que se mueven lo bastante rápido para que haya correcciones relativistas al potencial Coulombiano y cosas así, pero no lo bastante rápido para que la energía de las partículas puedan crear unas nuevas. Por ese motivo hay que ir más allá de esas ecuaciones. Lo que se hace es una segunda cuantización. Recordemos que una partícula, relativista o no, se describe en cuántica por una función de onda Ψ. Antes comenté que cuantizar era sustituir posición y momento por operadores. Todo el mundo suele tener en mente que el momento es P=m.v. Bien esto es así para el caso no relativista. Hay una expresión para el relativista que no pondré aquí pues lo importante no es su expresión exacta sino explicar que es el momento. El momento es técnicamente una cantidad que se obtiene del lagrangiano que representa elsistema físico por derivación respecto a la velocidad (derivada de la posición respecto al tiempo).
1.
Las ecuaciones de Klein-Gordon o de Dirac pueden obtenerse a partir de un Lagrangiano. Es un lagrangiano que dependerá de la función de onda, que puede considerarse en cierto modo cóm un campo. De hecho si consideramos la interacción electromagnética de manera sofisiticada en lugar de un lagrangiano tipo ley de Coulomb y similares tendremos un lagrangiano en el que aparecerá el campo electromagnético. Tenemos pués una teoria de campos. El campo para el boson (klein-gordon) o fermión (Dirac) se había obtenido como una primera cuantizacion de una partícula clásica, pero podemos olvidarnos de ello y pensar que es un campo. El campo electromagnético es, en principio, un campo clásico, pero lo importante es que ambos pueden considerarse cóm ocampos. Y las ecuaciones de esos campos surgen de un lagrangiano, un lagrangiano de campos. Pués bien, una sencilla generalizacioin de la ecuación 1 nos da la definición del momento para ea teoria. Claro, no es, en principio, algo que tenga la forma m.v pués lo que nos van a a aparecer serán expresiones que dependan de los campos. Pero aprte de eso formalmente se puede seguir el mismo procedimiento de sustituir coordendas (los propios campos) y sus momentos asociados por operadores. Los detalles obviamente no son triviales, estos operadores actuan en un espacio de Fock y no en uno de Hilbert y etc, etc. Perolo importante es que formalmente puede hacerse. Lo importante es que esta teoria va a describir sistemas dónde el número de partículas no esta determinado. Además ahora lo que nos a a interesar es obtener lo que se conocen como secciones eficaces, qeu se obtienea partir de elmentos de matriz S. Sin entrar en detalles esto viene a indicarnos la probabilidad de que al chocar un cierto número de partículas incidentes aparezcanan cierto número de particulas salientes (que pueden ser o no las mismas que inciden) y en que ángulos se desvian.
Bien, esto para partículas. Las cuerdas son un mundo aparte. Recordemos que es una funcion de onda, Es una funcion Φ(x,y,z,t) cuyo cuadrado nos da la probabilidad de hallar la partícula en las coordenadas x,y,z en el tiempo t. Uno podriá preguntarse cuál es el análogo para las teorias de cuerdas de esta funcion de onda. La verdad es que normalmente los libros de teoria de cuerdas no suelen comentar nada al respecto y no siempre deviene uno en plantearse esto. Al fin y al cabo quien estudia cuerdas ya conoce teoria cuántica de campos y en cuanto ha visto por ahí circulando los α´s y sus conjugadosque son operadores de creación-aniquilación y le han introducido un concepto de vacio y le explian que una cuerda tiene varios modos de vibración y que cada modo de vibración es una particula diferente tiende a pensar que esta en una teoria cuántica de campos con muchas partículas y se preocupa por cómo se calculan elementos de matriz S, y además esta por esos entonces asombrado con otras cosas, cómo las dimensiones adicionale, la aprición de taquiones en el espectro, o intentando ver si entiende de una manera razonable cómo ese mesmerismo de teoria de grupos conduce a la identificacionde modos de vibración con partículas y etc, etc.
Pero en el fondo, tenemos una cuerda vibrando que representa, según vibre, una partícula, o para ser exactos, tenemos un número determinado de cuerdas que reperesentan un número determinado de partículas. Pero, en principio, el sistema no representa un número arbitrario de cuerdas.
Así pués, sabiendo que tenemso una sola cuerda si tiene sentido plantearse si tiene sentido construir una funcion de onda para la cuerda cuyo cuadrado pueda interpretarse cómo una probabilidad cuántica. Tiene sentido, pero casi no hay nada hecho al respecto, sólo he visto algó de un tal Nathan Nikovits (qeu poste an physics phorums como demystifier) pero usa una interpretacion un tanto rara de la funcion de onda basada en unas ideas de Bohm ue desde luego no son las más ortodoxas.
Uno podria plantearse cómo es posible tal cosa. çla respuesta es muy sencilla. La matriz S y el cálculo de secciones eficaces, osea, la teoria de colisiones cuantica, tiene sentido también en primera cuatización. Y en esa teoria de colisiones la ecuacion de Schröedinger y la interpretacion en términos de funciones de onda no juega un papel relavante, lo importante es tener un Hamiltoniano (que contien la msima información que el Lagrangiano). Así pués digamos que la teoria de cuerdas "ordinaria" en cierto modo es hacer teoria de colisiones de cuerdas cuánticas en primera cuantización. Esto desede luego no es en absoluto transparente en el formalismo. De hehco normalmente las interacciones entre cuerdas no se introducen mediante un hamiltoninao o Lagrangiano sino que se hace una prescripción, la integral de Polyakov, basada en una analogia muy formal de la suma de caminos de Feyman y se sustituye la suma sobre trayectorias por suma sobre superfices. En realidad, y esto es algo que casi nunca se ve aunque viene en el megaclásico libro de Green-Schwarz-Witten, se pueden deducir los términos de la integral de Polyakov mediante un lagrangiano de interacción, aunqeu la verdad es uqe no he visto aún todos los detalles.
Bien, esto es la teoria de cuerdas en primera cuantización. Deberíamos plantearnos una segunda cuantización si queremos tener una teoria sensata, al menos eso se pensaba con total firmeza en los inicios de la teoria de cuerdas. Esa teoría de segunda cuantización, una "string field theory" debería permitir entre otras cosas hacer cálculos no perturbativos y dar una guía para un vacio que representara la elección de la compactificación (no confundir ocn el vacio sobre el que actuan los operadores α que representan los modos de vibracion de la cuerda).
Ahí si que hay hecho bastnate trabajo, ahí si se introduce una "función de onda de la cuerda". Eso sí, a ser segunda cuantización no se analiza su interpretación probabilísitca, sólo se ve com algo formal, un funcional, que permita escribr un lagrangiano.
Tras varios trabajos y diversas teorias en gauges particulares Witten creó una teoria para la cuerda abiertaen la que el lagrangiano tenía la forma de una teoria de Chern-Simmons donde el producto ordinario entre "funionales de cuerda", Ψ, se sustituía por un "prodcuto no conmutativo" * del estilo al de las geometrías no conmutativas.
2.
En realidad la historia es un poquito más complicada que todo eso. Ψ es un elemnto de un "álgebra graduda", Q es un operador de derivación que luego se puede ver qeu se corresponde con lo que se conoce cómo "operador BRST" y etc, etc, pero en cierto modo implementa esa idea. Por cierto, ese lagrangiano 2 tan elegante expresado en témrino de productos ordinarios (conmutativos) tiene una forma horrorosa.
La teoria de la cuerda bosonica abierta ha tenido un cierto éxito. Por ejemplo a finales de los noventa se consiguio ver que las D-Branas podian considerarse como soluciones solitonicas de las ecuaciones de movimiento (para llegar a ecuaciones de movimiento se hace un desarrollo en serie que lleav a un conjunto infinito de ecuaciones diferenciales acoplados) y eso permitio medio demostrar una conjetura de Sen, obtenida en toeria de cuerdas normal, sobre que cierto tipo de sistemas D-brana/Anti D-Brana se podina aniquilar y dar un taquión (taquion condensation) y eso podia en cierto modo analizar la inestabilidad de la teoria de cuerdas no bosonica y explicar que pinta ahi el taquion del espectro y cosas así.
Eso para la cuerda bosonica abierta la más fácil. Witten sugiere que puesto que dos cuerdas abiertas pueden interactuar y formar una cuerda cerrada la cuerda cerrada debería surgir dentro de una teoria de curdas abiertas cómo cierto tipo especial de estados. No sé muco dónde ha ido a parar esa idea, pero en todo caso sé que hay una teoria específica de cuerdas cerradas, o de hecho es posible que varias. De un lado tengo noticia de una en la que trabaja sobre tod o Zweibach y colaboradores. De otro lado sé que Kaku y colaboradores trabajan también en el tema y creo que son teorias diferentes. Sé que en la "versión Kaku" estan intentando ver que pintan ahí las D-Branas, pero es algo con lo que estoy aún empezando a familiarizarme.
Aparte esta la supercuerda, o cuerda con supersimetría. Creo que lo mejor que hay en ese campo es la teoria de Nathan Verkobits para la supercuerda abierta. Es un análogo relativamente directo a la teoria de Wittern, solventando los "pequeños detalles" que Witten auguraba. En realidad más que por un término tipo Chern Simons termina usando algo del estilo de las teorias del tipo Wess-zumino Witten. Pero ya meterme a intentar explicar minimamente eso se me hace imposible, entre otras cosas porque aún tengo unas cuantas dudas al respecto.
Cómo curiosida dmencionar que para la supercuerda existe otra formulación basada en el formalismo de Twistors y una correspondiente string field theory. Y es esa teoria la que ha estado impicada en los recientes papers que sugieren que la supersimetria par partículas puntuales puede ser renormalizable en contra de lo esperado. Igualmente aún me falta un tanto para entender bien esos aspectos.
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