Ideas básicas sobre cuantización en espacios curvos

Un entrada "ligerita", para que no se quede esto abandonado demasiado tiempo.

La teoria cuántica de campos ordinaria se formula en espacios planos, en partícular en el espacio de Minkowsky. Se empieza explicando la teoria de campos libres, interesante para explicar el concepto de vacio y de espacio de Fock. En cuántica ordinaria (no relativista) se suele hacer teoria cuántica de una partícula. Y lo más importante, podemos tener fijo el número de partículas. Esto no es posible en relatividad especial por aquello del E=mc² que permite fabricar partículas "desde el vacio" durante un tiempo muy pequeño debido a la relacion de incertidumbre entre tiempo y energía. Así pués debemos describir la física, no en un espacio de Hilbert (hablando libremente, que en realidad la partícula libre no va en un espacio de Hilbert según lo definen los matemáticos ya que la funcion de onda de una particula libre no pertece a L², conjunto de funciones de cuadrado integrable) sino en un espacio de Fock. ¿Y esto que es? Pués una serie infinita de productos tensoriales del espacio de hilbert de una particula adecuadamente simetrizado o antisimetrizado, según tengamos bosones o fermiones. Osease, algo así cómo (uso una notacion simbolica para aclarar ideas):

1. F=0 +H + H1xH2 + H1xH2xH3+ ...

Aquí H es el espacio de hilbert de una partícula. Cuando hay dos partículas tenemos H1 Y H2, el espacio de hilbert de cada una de las dos partículas. X denotaría el producto tensorial simetrizado o antisimetrizado de las dos partículas. El signo + indicaría suma directa. Vamos, que debemos considerar la posibilidad de tener una sóla partícula, dos partículas, tres partículas o un número infinito de partículas, y nuestro formalismo debe contemplar esa posibilidad. Eso es el espacio de Fock, y parte de la idea de la mecánica cuántica relativista. El desarrollo de la teoria relativista requiere considerar particulas en interacción, lo que nos llevaría a la matriz S y etc, etc.

Pero para el tema de cuantización en espacios curvos sólo necesito campos libres. Fijaros que en la ecuación 1 he puesto, un tanto libremente un 0. Esto es el vacio, donde no hay partículas. Por otro lado la mecánica relativista es una teoria cuántica de campos. Esta sutil diferencia semántica puede interpretarse como que los campos crean partículas. Sin entrar en detalles simplemente comentar que tenemos un lagrangiano clásico en términos de los campos (por ejemplo el campo electromagnético, expresado en términos de sus potenciales) o el de una partícula de klein-gordon. La ecuacion de Euler-Lagrange para esos campos es una ecuación en derivadas parciales que puede resolverse por separación de variables y resultado de ella sale una expansión del campo clásico en términos de modos de fourier. Bien, cuantizar es imponer relaciones de conmutación a los campos, sustituyendo los campos clásicos por operadores, que actuan en el espacio de Fock. Imponerlas "a saco" es un tanto dificil. Pero cuando tenemos el desarrollo en serie de Fourier cada modo de Fourier se convierte en un operador. Y puede interpretarse como un operador de creación, o de aniquilación. Un operador de creación crea una partícula y uno de aniquilacion la destruye.

Esto es para campos libres en el espacio plano de Minkowsky. En espacios curvos la cosa se complica. Resulta que lo que un observador ve como vacio otro observador puede verlo como no vacio. El caso más sencillo es el conocido como espacio de Rindler. Este es simplemente el espacio de Minkowsky visto por un observador enmovimiento unifromemente acelerado. El observador acelerado ve el vacio de Minkowsky lleno de partículas con una distribucion térmica. La temperatura de esa distribución depende de la aceleracion. A más aceleración más temperatura. La forma técnica de expresar esto es mediante lo que se conoce como transformaciones de Bogolubov que transforman el vacio de un observador en otro. Otro ejemplo, mucho mas famoso, de cuantización en un espacio curvo es cuando se cuantiza un campo libre en una geometría de Schwarschild, la que describe un agujero negro. Ahi se tienen que un observador en caida libre que este muy cerca del horizonte de sucesos vería vacio la zona cercana al miso. Sin embargo otro observador que estuviera inmovil a una distancia fija del horizonte de sucesos vería lo que el otro observador encuentra vacio lleno de partículas. Esto puede interpretarse como que el agujero negro esta emitendo partículas y es lo que se conoce como radiacion de Hawkings (por cierto, no confundir esto con un concepto muy similar aprentemente, el de entropia de un agujero negro). La intensidad de la radiacion depende de una magnitud, la gravedad superficial del agujero negro, que puede demostrarse que esta ligada a una potencia inversa del área del agujero negro. Así pués a menor área mayor emision de Hawkings.

Las fórmulas concretas del resultado son:

$$ T_H=\alpha_H/2\pi $$ dónde $$\alpha$$ es la gravedad superficial del agujero negro, de valor: $$ \alpha= 1/4M$$

Si no trabajamos en unidades naturales la fórmula se convierte en:

$$T_H=hc^3/16\pi^2GMk $$ dónde todos los factores tiene un significado obvio, excepto quizás la k, que es la constante de Boltzman.

Si el agujero negro esta cargado y/o gira se pueden obtener las fórmulas concretas usando las métricas de Reissner-Nordstrom o la de Kerr-Newman. No pondré los resultados pues serían mas adecuados para una entrada específica.

P.S. Un buen artículo de review es el siguiente: arXiv:gr-qc/0010055