Nociones básicas sobre compactificación en teoria de cuerdas

Recordemos, las supercuerdas convencionales (las únicas de la que voy a hablar) se formulan en 10 dimensiones. Cómo el universo observado tiene la indecencia de no dar signo evidente de más de 4 hay que hacer algo para obtenerlo. Cómo bien explica el amigo Green lo que se hace es explotar la vieja teoría de Kalua-Klein de compactificar las dimensiones. Además uno saca la ventaja de que las isometrías del espacio compactificado se traducen en simetrías gauge. Las cuerdas tienen varias peculiaridades en las compactificaciones respecto a las teorías de campos puntuales, pero comparten una característica que es crucial. Resulta que cómo la compactificación se hace "a mano" no hay nada, en los casos más simples, que fije algunas características del espacio compactificado. En el caso más sencillo en que una sola dimensión se compactifica en un círculo la caracterísitica esencial es el radio. No hay nada uqe fije el tamaño del radio, es un parámetro libre. Y el problema es que algunas de las características del universo observado si dependen del valor exacto del radio. Si no lo podemos fijar teóricamente tenemos que las cuerdas ya tiene más parámetros libres y dejan de ser una teoría tan unificada (recuérdese que las cuerdas en principio sólo tiene un parámetro libre, la tensión de la cuerda).

La generalización más obvia de la compactificación en un n-toro, o sea, el producto de n-círculos. Aquí ya tenemos más estructura, y voy a analizar el caso del 2-toro para ejemplificar algunas cosillas útiles luego. No todos los toros son iguales, se distinguen unos de otros por la relación de tamaños de los radios. Esa relación nos describe familias de tornos no equivalentes bajo transformaciones conformes. Ese parámetro es lo que se conoce como móduli (luego daré una definición matemática más general, y como se calculan los móduli, el otro móduli del toro sería el tamaño de uno de los radios). Un aspecto que he mencionado, pero no he explicado, es que nada fija el valor del móduli. Pero ¿como debería fijarse ese valor? Bien, el moduli es un concepto geométrico, pero puede verificarse que en la toeria de cuerdas su valor siempre va a corresponder al valor esperado en el vacio (vev) de un campo escalar que aparece en la compactificación. El vev es básicamente el mínimo del potencial del campo. El problema es que los lagrangianos que describen la compactificacion no nos dejan ningún término de potencial para esos campos asociados a los móduli. Por eso permanecen indeterminados. Por poner un ejemplo sencillo, en el caso de compactificación en un círculo el campo asociado sería el (famoso en el mundillo) dilatón.

Bien, un círculo no vale como compactificación, que no nos da las dimensiones correctas, un 6-toro nos da las dimensiones correctas, pero deja demasiada simetría y no reproduce el modelo estándar ni de casualidad. Hay que ir a construcciones más complejas. Para poder entender bien algunas características esenciales luego explicaré ahora lo siguiente más sencillo que se puede hacer, compactificar en un orbifold. Un orbifold es lo que se conoce matemáticamente cómo conjunto cociente de un espacio topológico por al acción de un grupo finito. EL caso más simple puede verse como la acción de Z2 en el círculo. Esta puede verse que equivale a una identificación de las dos mitades de un círculo (respecto a un diámetro cualquiera), o sea, un segmento. El problema es que los dos extremos del diámetro son invariantes de la acción. Eso hace que el orbifold no sea un espacio suave, un manifold (o variedad, en español). Los puntos extremos son singularidades.

Llegados a este punto hay dos caminos, relativamente equivalentes. De un lado se puede comprobar que cierto tipo de estados, llamados twisted states, de la cuerda se propagan sin problemas en esas geometrías. Por otro lado se pueden eliminar esas singularidades mediante un proceso de "blowin-up" (o hinchado). El resultado del blowin up de un orbifold resulta ser un Calabi-Yau, de los que ahora hablaré. En ese blowin-up, la cuerda se propaga normalmente sin necesidad de estados twisteados (nada que ver con los twistors de Penrose pese al nombre) y tenemos dos descripciones matemáticas del mismo asunto.

Bien, vamos a los Calabi-Yaus. Las condiciones que se requieren alas cuerdas en 4 dimensiones es que tenga solo una carga supersimétrica (hay argumentos muy generales que indican que teorías con más de una supersimetría en 4 dimensiones no pueden ser consistentes). Aparte se pide que tengan algo llamado "holonomía SU(3)" y que sean Ricci flat, es decir, que su tensor de curvatura de Ricci sea nulo. Bien, el caos es que tenemos un espacio de 6 dimensiones reales con unas características precisas. Los matemáticos habían estudiado ya ese tipo de objetos, pero vistos como espacios complejos de dimensión (compleja) 3, y en particular de un tipo específico conocido como Khaler manifolds. Cómo curiosidad decir que la manera más sencilla d obtener calabi-Yaus es partir de espacios proyectivos complejos y hacer subespacios de los mismos definidos por polinomios homogéneos en variable compleja. La homogeneidad es requerida par ajustarse a que el espacio sea proyectivo. Reacuérdese que el plano proyectivo consiste en identificar todos los puntos de una recta, eso implica que sólo los polinomios homogéneos están bien definidos en el plano proyectivo.

Bien, el caso es que tenemos compactificaciones en Calabi-Yaus que nos dan aproximaciones muy buenas al modelo Standard si partimos de la cuerda heterótica. Esto esta bien, pero hay varias cosas que faltan. Un dato muy conocido de quien lea divulgación es que el número de generaciones de partículas se corresponde con un invariante topológico del Calabi-Yau, su característica de Euler. Hay otros aspectos de la física en 4 dimensiones que dependen de características topológicas, pero no todas, algunas, e importantes, dependen de la métrica del Calabi-Yau. Pues bien, en la época del libro, y de hecho hasta como quien dice antes de ayer, no se sabe calcular la métrica de un Calabi-Yau. Hoy día, quitando unos poquitos casos, las que se saben se obtienen, y con mucho trabajo, con métodos numéricos. ahí ya tenemos un avance.

Pero a ver, sigamos. Había dicho que necesitábamos saber el móduli space del Calabi-Yau. Para hacer eso lo que se hace es considerar la métrica del Calabi-Yau, no importa que no la sepamos, y variarla. Se impone que la nueva métrica siga siendo Ricci flat. Esto resulta en unas ecuaciones diferenciales.El número de soluciones de esas ecuaciones van a contar el número de modos independientes (en el sentido de dar las mismas topologías y supersimetrías) de modificar el Calabi-Yau. Los coeficientes de esas soluciones van a ser los modulis. En realidad los modulis no van por libre y definen ellos mismos un espacio geométrico. En ese espacio geométrico se puede dar una métrica. En algunos casos esos moduli spaces van a ser así mismo espacios de Khlaler. Normalmente se va a tener que le moduli consta de dos partes, una que nos da "la forma" (la relación de radios en el caso del toro) y otra que nos da el tamaño (el tamaño de uno cualquiera de los radios en el toro).

Espero que más o menos se me siga hasta aquí. Es que normalmente se pasa muy por encima en el tema este de la compactificación y es muy importante entenderlo medianamente bien para muchos aspectos importantes hoy día. Voy a ahora con algo que había omitido hasta ahora. Los Calabi-Yaus van a ser soluciones clásicas de la cuerda. Pero efectos perturbativos, y algunos no perturbativos, pueden cambiar eso. Uno de los efectos no perturbativos es la consideración de las D-branas. Resulta que la presencia de las D-branas esta relacionada con un aspecto que uno no esperaría en un Calabi-Yau. Algunos tipos de Calabi-Yaus, no compactos, tiene singularidades. En realidad es más preciso hablar de un conifold que de un Calabi-Yau en estos casos. Puede parecer que esto es muy técnico, y no se ajusta a nada "físico". Pero en realidad no es así. Estas peculiaridades son relevantes en dos aspectos. Uno el hecho de poder describir un
agujero negro mediante d-branaas enrolladas alrededor de cierto tipo de subvariedades del Calabi-Yau, conocidas cómo subvariedades de Lagrange (en realidad se puede calcular la entropía del black hole enrollando las branas en cosas más sencillas, como toros, pero el trabajo inicial usaba los Calabis). Otro aspecto, quizás más importante, es que esas singularidades del Calabi-yau, el conifold, permite que las cuerdas puedan realizar transiciones entre espacios con distintas topologias (obviamente en los puntos regularidades del Calabi-yau no se puede.

De todos modos con todas estas complejidades los Calabis, por si solos, no bastan. En un Calabi seguimos sin tener un potencial para el moduli. Hay que darle potencial a los modulis. La solución es peculiar. En los Calabis tenemos geometrías en que todos los campos de la cuerda, excepto la métrica, se anulan. Queremos considerar compactificaciones en que algunos campos de la cuerda, los supersimétricos que se pueden corresponder como campos gauge tomen valores no nulos. Esto es lo que se conoce como flux compactificacions, o compactificaciones de flujo. Se puede probar que en tales compactificaciones si se van a tener potenciales para los campos que determinan los valores de los moduli. Entonces ¿por que no se habían usado antes estas compactificaiones? de un lado porque se había demostrado que "eran imposibles". Pero se había demostrado antes de el descubrimiento de las d-branas. El truco esta en que algunos de estos campos gauge antisimétricos de los que hablo no pueden estar cargados respecto a al cuerda. Tiene que estar cargados respecto a D-Branas. Por tanto era imposible que se hubieran considerado estas compactificaciones antes del descubrimiento de las D-branas.

Otro aspecto muy interesante de estas compactificaciones de flujo es que son compatibles con compactificaciones "warped" (no sabría com traducirlo exactamente). En estas el espacio no va a ser ya un producto del espacio de Minkowky por el espacio interno, sino que estarán mezclados por un factor de warping, una exponencial decreciente de las coordenadas internas.

El hecho de que las compactificacioens de flujo permitan estas geometrías warped es lo que inspiro, como algo compatible con las cuerdas, los universos tipo Randal-Sundrum. En realidad ahí hay una dimensión de tamaño no planckiano (las compactificaciones tiene el orden del tamaño de Planck). Eso esta relacionado con que no se consideran solo compactificaicones de las teorías de cuerdas en 10 dimensiones. Se sabe que hay duales de las teorías de cuerdas que no son propiamente teorías de cuerdas, por ejemplo la teoria M. Otra de esas teorías es la teoría F (si la teoría M es dual de las supercuerdas tipo II A la teoría F es dual de la supercuerda tipo II B). Cierto tipo de compactificaciones de la teoría tipo II-B, que es dual a una compactificación de la teoria F, puede realizar, en la teoría de cuerdas, el modelo fenomenológico de Randall-Sundrum. Lo relevante es que la teoría M tiene 11 dimensiones, una más que la supercuerda. La teoría F, formulada como una libración elíptica de la cuerda tipo IIB, también (en otro formalismo tiene 12 dimensiones, pero una de esas dos dimensiones extra, respecto a la cuerda, es tipo tiempo, es decir, que hay dos dimensiones temporales). Lo peculiar es que esa dimensiones extra, respecto a las teorías de cuerdas, no tiene porque ser del tamaño de Planck de hecho no debería serlo.

Voy a cortar aquí, que si no nadie se va atrever con el post. Simplemente comentar que los modelos de Randall-Sundrum permiten cosas muy interesantes. Por ejemplo en ellos el gravitón se descompone en uno en 4 dimensiones, gravedad normal, y uno que puede moverse en la dimensión extra, el bulk, dando una modificación a la gravedad normal, y que hace que para distancias cortas la gravedad sea más fuerte. Eso posibilitaría (pero es improbable) que se formen agujeros negros en el CERN. Otra característica es que la energía de los modos masivos de la teoría de cuerdas, que normalmente serían del orden de la masa de Planck, tengan en realidad una masa que podría ser del orden de la energía del LCH (1 Tev). Esto abre la posibilidad de observar estados totalmente "cuerdistas" en el LHC (igualmente es muy improbable, y deberían distinguirse por sus productos de decay, no directamente). En fin, los warped universes son un submundo entero dentro de las cuerdas Aunque mucho de su estudio se puede hacer mediante modelos "fenomonologicos", o sea usando gravedad de Einstein + teorias de campos. Las cuerdas serían un motivante (y aparte permiten calcular algunos aspectos de los mismos, como el warp factor).