I have been disucisong in my other (and in the miguis forum) the proposal of Crane to use a black hole as an starship impulsor, bases on his arxiv article: ARE BLACK HOLE STARSHIPS POSSIBLE?.
You can read (if you understand spanish) the three post about the suject: 1 , 2 and 3.
While discusing that papers I have ben reading in wikipedia about it's litle brother, the Unruh effect.
As explained there in detaill that effect consist of the observance of thermal radiation by an acelerated observed of what is vaccum for an stationary observer. The temperature of the radiation is proportional to the aceleration: $$T=ha/4\pi^2ck $$ (k is the bolstman constant, the other quantities have their obvious meaning).
To my surprise in the entry is mentioned that there is a claim that the radiation has been observed. In particular it has been claimed to be observed in the Sokolov–Ternov effect: the effect of self-polarization of relativistic electrons or positrons moving at high energy in a magnetic field. The self-polarization occurs through the emission of spin-flip synchrotron radiation. and, in particular:
it was shown that if one takes an accelerated observer to be an electron circularly orbiting in a constant external magnetic field, then the experimentally verified Sokolov-Ternov effect coincides with the Unruh effect.
This results date back to 2005, so they are not new at all. And I am almost sure that they are controversial or someone would have a nobel prize for it ;-). The whole thing is that despite I try to be informed, I have no idea about it. Maybe other readers of the blog also were unaware of it and they could be curious to know.
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Friday, December 25, 2009
Saturday, August 09, 2008
Ideas básicas sobre cuantización en espacios curvos
Un entrada "ligerita", para que no se quede esto abandonado demasiado tiempo.
La teoria cuántica de campos ordinaria se formula en espacios planos, en partícular en el espacio de Minkowsky. Se empieza explicando la teoria de campos libres, interesante para explicar el concepto de vacio y de espacio de Fock. En cuántica ordinaria (no relativista) se suele hacer teoria cuántica de una partícula. Y lo más importante, podemos tener fijo el número de partículas. Esto no es posible en relatividad especial por aquello del E=mc2 que permite fabricar partículas "desde el vacio" durante un tiempo muy pequeño debido a la relacion de incertidumbre entre tiempo y energía. Así pués debemos describir la física, no en un espacio de Hilbert (hablando libremente, que en realidad la partícula libre no va en un espacio de Hilbert según lo definen los matemáticos ya que la funcion de onda de una particula libre no pertece a L2, conjunto de funciones de cuadrado integrable) sino en un espacio de Fock. ¿Y esto que es? Pués una serie infinita de productos tensoriales del espacio de hilbert de una particula adecuadamente simetrizado o antisimetrizado, según tengamos bosones o fermiones. Osease, algo así cómo (uso una notacion simbolica para aclarar ideas):
1. F=0 +H + H1xH2 + H1xH2xH3+ ...
Aquí H es el espacio de hilbert de una partícula. Cuando hay dos partículas tenemos H1 Y H2, el espacio de hilbert de cada una de las dos partículas. X denotaría el producto tensorial simetrizado o antisimetrizado de las dos partículas. El signo + indicaría suma directa. Vamos, que debemos considerar la posibilidad de tener una sóla partícula, dos partículas, tres partículas o un número infinito de partículas, y nuestro formalismo debe contemplar esa posibilidad. Eso es el espacio de Fock, y parte de la idea de la mecánica cuántica relativista. El desarrollo de la teoria relativista requiere considerar particulas en interacción, lo que nos llevaría a la matriz S y etc, etc.
Pero para el tema de cuantización en espacios curvos sólo necesito campos libres. Fijaros que en la ecuación 1 he puesto, un tanto libremente un 0. Esto es el vacio, donde no hay partículas. Por otro lado la mecánica relativista es una teoria cuántica de campos. Esta sutil diferencia semántica puede interpretarse como que los campos crean partículas. Sin entrar en detalles simplemente comentar que tenemos un lagrangiano clásico en términos de los campos (por ejemplo el campo electromagnético, expresado en términos de sus potenciales) o el de una partícula de klein-gordon. La ecuacion de Euler-Lagrange para esos campos es una ecuación en derivadas parciales que puede resolverse por separación de variables y resultado de ella sale una expansión del campo clásico en términos de modos de fourier. Bien, cuantizar es imponer relaciones de conmutación a los campos, sustituyendo los campos clásicos por operadores, que actuan en el espacio de Fock. Imponerlas "a saco" es un tanto dificil. Pero cuando tenemos el desarrollo en serie de Fourier cada modo de Fourier se convierte en un operador. Y puede interpretarse como un operador de creación, o de aniquilación. Un operador de creación crea una partícula y uno de aniquilacion la destruye.
Esto es para campos libres en el espacio plano de Minkowsky. En espacios curvos la cosa se complica. Resulta que lo que un observador ve como vacio otro observador puede verlo como no vacio. El caso más sencillo es el conocido como espacio de Rindler. Este es simplemente el espacio de Minkowsky visto por un observador enmovimiento unifromemente acelerado. El observador acelerado ve el vacio de Minkowsky lleno de partículas con una distribucion térmica. La temperatura de esa distribución depende de la aceleracion. A más aceleración más temperatura. La forma técnica de expresar esto es mediante lo que se conoce como transformaciones de Bogolubov que transforman el vacio de un observador en otro. Otro ejemplo, mucho mas famoso, de cuantización en un espacio curvo es cuando se cuantiza un campo libre en una geometría de Schwarschild, la que describe un agujero negro. Ahi se tienen que un observador en caida libre que este muy cerca del horizonte de sucesos vería vacio la zona cercana al miso. Sin embargo otro observador que estuviera inmovil a una distancia fija del horizonte de sucesos vería lo que el otro observador encuentra vacio lleno de partículas. Esto puede interpretarse como que el agujero negro esta emitendo partículas y es lo que se conoce como radiacion de Hawkings (por cierto, no confundir esto con un concepto muy similar aprentemente, el de entropia de un agujero negro). La intensidad de la radiacion depende de una magnitud, la gravedad superficial del agujero negro, que puede demostrarse que esta ligada a una potencia inversa del área del agujero negro. Así pués a menor área mayor emision de Hawkings.
Las fórmulas concretas del resultado son:
$$ T_H=\alpha_H/2\pi $$ dónde $$\alpha$$ es la gravedad superficial del agujero negro, de valor: $$ \alpha= 1/4M$$
Si no trabajamos en unidades naturales la fórmula se convierte en:
$$T_H=hc^3/16\pi^2GMk $$ dónde todos los factores tiene un significado obvio, excepto quizás la k, que es la constante de Boltzman.
Si el agujero negro esta cargado y/o gira se pueden obtener las fórmulas concretas usando las métricas de Reissner-Nordstrom o la de Kerr-Newman. No pondré los resultados pues serían mas adecuados para una entrada específica.
P.S. Un buen artículo de review es el siguiente: arXiv:gr-qc/0010055
La teoria cuántica de campos ordinaria se formula en espacios planos, en partícular en el espacio de Minkowsky. Se empieza explicando la teoria de campos libres, interesante para explicar el concepto de vacio y de espacio de Fock. En cuántica ordinaria (no relativista) se suele hacer teoria cuántica de una partícula. Y lo más importante, podemos tener fijo el número de partículas. Esto no es posible en relatividad especial por aquello del E=mc2 que permite fabricar partículas "desde el vacio" durante un tiempo muy pequeño debido a la relacion de incertidumbre entre tiempo y energía. Así pués debemos describir la física, no en un espacio de Hilbert (hablando libremente, que en realidad la partícula libre no va en un espacio de Hilbert según lo definen los matemáticos ya que la funcion de onda de una particula libre no pertece a L2, conjunto de funciones de cuadrado integrable) sino en un espacio de Fock. ¿Y esto que es? Pués una serie infinita de productos tensoriales del espacio de hilbert de una particula adecuadamente simetrizado o antisimetrizado, según tengamos bosones o fermiones. Osease, algo así cómo (uso una notacion simbolica para aclarar ideas):
1. F=0 +H + H1xH2 + H1xH2xH3+ ...
Aquí H es el espacio de hilbert de una partícula. Cuando hay dos partículas tenemos H1 Y H2, el espacio de hilbert de cada una de las dos partículas. X denotaría el producto tensorial simetrizado o antisimetrizado de las dos partículas. El signo + indicaría suma directa. Vamos, que debemos considerar la posibilidad de tener una sóla partícula, dos partículas, tres partículas o un número infinito de partículas, y nuestro formalismo debe contemplar esa posibilidad. Eso es el espacio de Fock, y parte de la idea de la mecánica cuántica relativista. El desarrollo de la teoria relativista requiere considerar particulas en interacción, lo que nos llevaría a la matriz S y etc, etc.
Pero para el tema de cuantización en espacios curvos sólo necesito campos libres. Fijaros que en la ecuación 1 he puesto, un tanto libremente un 0. Esto es el vacio, donde no hay partículas. Por otro lado la mecánica relativista es una teoria cuántica de campos. Esta sutil diferencia semántica puede interpretarse como que los campos crean partículas. Sin entrar en detalles simplemente comentar que tenemos un lagrangiano clásico en términos de los campos (por ejemplo el campo electromagnético, expresado en términos de sus potenciales) o el de una partícula de klein-gordon. La ecuacion de Euler-Lagrange para esos campos es una ecuación en derivadas parciales que puede resolverse por separación de variables y resultado de ella sale una expansión del campo clásico en términos de modos de fourier. Bien, cuantizar es imponer relaciones de conmutación a los campos, sustituyendo los campos clásicos por operadores, que actuan en el espacio de Fock. Imponerlas "a saco" es un tanto dificil. Pero cuando tenemos el desarrollo en serie de Fourier cada modo de Fourier se convierte en un operador. Y puede interpretarse como un operador de creación, o de aniquilación. Un operador de creación crea una partícula y uno de aniquilacion la destruye.
Esto es para campos libres en el espacio plano de Minkowsky. En espacios curvos la cosa se complica. Resulta que lo que un observador ve como vacio otro observador puede verlo como no vacio. El caso más sencillo es el conocido como espacio de Rindler. Este es simplemente el espacio de Minkowsky visto por un observador enmovimiento unifromemente acelerado. El observador acelerado ve el vacio de Minkowsky lleno de partículas con una distribucion térmica. La temperatura de esa distribución depende de la aceleracion. A más aceleración más temperatura. La forma técnica de expresar esto es mediante lo que se conoce como transformaciones de Bogolubov que transforman el vacio de un observador en otro. Otro ejemplo, mucho mas famoso, de cuantización en un espacio curvo es cuando se cuantiza un campo libre en una geometría de Schwarschild, la que describe un agujero negro. Ahi se tienen que un observador en caida libre que este muy cerca del horizonte de sucesos vería vacio la zona cercana al miso. Sin embargo otro observador que estuviera inmovil a una distancia fija del horizonte de sucesos vería lo que el otro observador encuentra vacio lleno de partículas. Esto puede interpretarse como que el agujero negro esta emitendo partículas y es lo que se conoce como radiacion de Hawkings (por cierto, no confundir esto con un concepto muy similar aprentemente, el de entropia de un agujero negro). La intensidad de la radiacion depende de una magnitud, la gravedad superficial del agujero negro, que puede demostrarse que esta ligada a una potencia inversa del área del agujero negro. Así pués a menor área mayor emision de Hawkings.
Las fórmulas concretas del resultado son:
$$ T_H=\alpha_H/2\pi $$ dónde $$\alpha$$ es la gravedad superficial del agujero negro, de valor: $$ \alpha= 1/4M$$
Si no trabajamos en unidades naturales la fórmula se convierte en:
$$T_H=hc^3/16\pi^2GMk $$ dónde todos los factores tiene un significado obvio, excepto quizás la k, que es la constante de Boltzman.
Si el agujero negro esta cargado y/o gira se pueden obtener las fórmulas concretas usando las métricas de Reissner-Nordstrom o la de Kerr-Newman. No pondré los resultados pues serían mas adecuados para una entrada específica.
P.S. Un buen artículo de review es el siguiente: arXiv:gr-qc/0010055
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