Fermi-Glast satelite and the status of LQG predictions

2003 probably was the bes yer for LQG. It was published a relatively short paper (authored by Rovelli) that presented the basics of the canonical LQG. It stated the result of quantization of the area operator, related it to the idea of a minimal lenthg and, and this is the important point, stated that it implied an experimental prediction: "Vacuum light speed depends on it´s frequency". The paper also contained an introduction to LQC (loop quantum cosmology) and the results on big bounce evitancy and a few other topics. But the mimportant one, at least for a lot of people, was the first.

Also, Nic Mavromatos, an Jonh Ellis, from CERn, published around the same time a paper stating that noncrititical Liouville strings predictes similar results (with the dependence of speed on the frequency going in the opossite direction that in LQG.


Those people expressed the hope taht the launch , around 2005, of the GLAST satelite, could experimentally test tht ideas. GLAST satelite laucnhing got somewhat delayed. In the meantime, in august 2007, an experimental recipe, known as MAGIC, obtained some results that indicated a possible confirmation of those ideas. I told
something about it in this entry. But GLAST satelite was finally launched and at last there are some results. You can read a press release by NASA here.

The NASA paper speaks about gamma ray bursts, not about quantum gravity. Where is the relation?

Well, in the end of the release you can read this:

One curious aspect of the burst is a five-second delay separating the highest-energy emissions from the lowest. Such a time lag has been seen clearly in only one earlier burst.

That´s the point. The idea expresed but that proposals of quantum gravity is that the more energetic fotons travelat different speed than the slower ones. That implies that the fastests one arrive sooner than the slower ones. In ordinary distances that can´t be observed, but for very distant objects the path is long enought to give meausereable results.

So, has LQG been confirmed? Not quite. I´ll soon tell why. But first I´ll make a few clarifications. The way LQG was supposed to predict those effects was by means of it´s prediction of a minimal length. That leads to DSR (double special relativities) that take tha minimal length as a premise and from that they obtain the dispersion relations of vacuum light speed. I have also heard of another argument, supposedly stated by Fotini Markopuolu Kalamara. The idea is that the more energetic fotons , of shorter wave-lengt collide more ofthem with the "atoms of space-time". I did a search in arxiv of the actual paper of fotini but I wasn´t able to find it (if some reader know the link I would knoowledege if he would leave it in the comments).

Let´s return to the question of why the GLAST satelite results don´t favour this LQG (or noncritical string theory) prediction. The trick is that there are models on how the GRB are formed. The GRB are supossed to be originated in matter beeing acreted into a black hole. The models of disk acrretion predict that less energetic photons are produced sonner that more energetic ones. I have´t readed the actual papers about those models (semeengly that calculations are available here ). I simply readed the conclusion, that the variations on light speed are excluded.

You can read more about it in the Lubos motl blog. Also there is a discusion about the topic in physic forums, concretely in this post.

In physics forums it is stated that , in fact, that presumably firm prediction of LQG in facthaas been progresively desestimated. To beguin with it has not been possible to rigurously deduce that behaviiour directly from canonical LQG. In fact the whole subject of canonical LQG is nowadays almost forgoten. Accordin to Marcus actually lQG is focussing in:

There is really only one form of LQG that is getting the bulk of attention. It is designated EPRL (gamma<1) and also FK(gamma < 1). These two turned out to be equivalent as long as the Immirzi gamma is < 1. Two different vertex amplitude formulas which coincide in the important case.

Essentially every new paper I see about the full theory (not the LQ cosmo offspring, but LQG)
as well as every new video-stream seminar talk at PIRSA is about this one version of LQG.
From my perspective it is getting all the attention since sometime in 2007.

Rovelli and his group call it Covariant LQG.
EPRL is Engle Pereia Rovelli Livine, FK is Freidel Krasnov.
There was a revolution and convergence starting in 2006.

It is misleading to say there are a whole lot of LQGs. There HAVE been in the past. But in 2007 the old vertex amplitude formula of BarrettCrane was thrown out and several new ones tried and the two I mentioned turned out to coincide and to give results on hypersurfaces consistent with those of the old pre-2000 canonical LQG. So it amounts to a rederivation of the whole theory.

Rovelli gives a good summary of this in his talk to the string theorists at Strings 2008. Ask if you don't have the link and want to watch the talk.


I am almost not following LQG development nowadays. ALl I can say is that I listened the Rovelli talk at strings 2008 (I folllowed almost all talks) and most of it´s talk looked very similar to the introductory 2003 paper I talked at the beguining. If he actually told about the new developments it was a very brief mention that resulted almos ot perceibed by most participants (at least i I must judge by other blog entries about strings 2008).

Well, if LQG doesnt predict that light speed dispersion, does it predict something. Well, a new thread in PF was created in the subject, this. Seemengly most of that predictions are related to LQC and not to LQG. And the conexion among LQC and LQG is not totallly clear.

Well, LQG comunity clearly has the right to change it´s opinion about what it is or what it is not a prediction of their theories. But certainly, it makes sound the previous claim somehow as a publicitary strategy. It is not as if that publicity trick are not something totally new in physics, but, certainly, are not the bes way to give credibility. Anyway, LQG people will probably keep doing researche in their theories, but probably they have lost a great oportunity to win a clear triumph.

The case for dynamics in canonical LQG

It could be easy to suppose that following some selected blogs, and reading discussions in the appropriate forums one is aware of "what´s going on" in quantum gravity related issues. Well, the Ian Malcon´s law, you know, "98 % of what you believe is false" strikes again. If you follow the link´s sections of some of the most well known blogs (Motl, Distler, Woits, etc) you find that many of the linked blogs are not about quantum gravity, and many of the QG side are sparsely updated, or contain a lot of non physic related entries. The result is that it is easy that a lot of papers, or even full lines of research pass unperceived. Perhaps the more complete list of papers is this thread in physics forums. And of course you could simply follow arxiv (If you didn´t notice I added an RSS feed to the last five entries on hep-th to the blog) . But although Marcus, the author of the cited thread make some brief comments about the papers he links it is hard to get a proper idea of the relevance of the papers.

In this blog I have tried to give an overview of various (surelyy not all) lines of research, even if they are not too likely to be viable in the long run. I have coved things such as conformal quantum gravity, Garret Lissi´s E8, topological geometrodynamics, and, recently, the new idea of 't Hooft (I am still waiting for the paper covering the quantum part). Most of this approaches have almost null follow up. For example the last paper of ' t Hooft has only one citation so far, despite the fact of he being a top notch physicist.

This mean that we are left with only three approaches with a wide coverage, string theory, of course, LQG and, far behind this two, the non commutative theory of Alain Connes. Well, if someone has read the book "three roads to quantum gravity" by Lee Smollin (I didn´t) he will be somewhat surprised that I don´t mention the twistor theory of Roger Penrose. After reading the last chapter of the Penrose´s book "the road to reallity) describing that theory and it´s state of development I think it is too far of being a theory of quantum gravity. If I have to choose I would bet for the euclidean quantum gravity approach advocated by Hawkings instead, but I am not too sure if someone keep publishing in that topic nowadays.

Some people find this discouraging. For example Mitta Pitkanen, the creator of TGD, asked some mounths ago about the reason string theory was so majoritary. I guess that the reason for this is easy to understand. String theory strongly relies in ideas of particle physic and quantum field theory. As far as most theoretical physicists have this background it is very natural that from the standard model they would go to string theory. That also explain why LQG has also a reasonably good amount of followers. It is the natural approach to quantum gravity for people with a deep implication in general relativity ideas. In fact possibly a lot of people who a few year about hold their hopes in twistors or euclidean quantum gravity have gone into LQG nowadays. And it also explains the relative success of NCG. Simply mathematicians follow the work of a field medalist in a work bases in the standard model, that is a theory expressible in fiber bundles language so they can learn it relatively easy, and is near to the things they know. People simply follow natural developments of the theories they know well. Or at least that is my opinion.

Ok, this has been a long prelude to somewhat justify why I am writing the actual topic of the post, pertaining to LQG research. After I had said in previous posts that I was becoming progressively more and more centered in string theory, and that I was becoming progressively more skeptic in LQG. Well, the reason is that I hadn´t seen previously any discussion of this particular topic and I think it deserves some attention. Surely there is out there people lot more qualified to cover it in a blog/forum, but as far as I know nobody did.

Let´s state the arena to understand the problem. In canonical LQG one tries to solve the constraints appearing when one tries to go from the Einstein-Hilbert Lagrangian to a Hamiltonian. Doing an slice of spacetime and a change to the Astekhar variables one ends up with three constraints, a Gauss constraint, a diffeomorphism, or kinematic, constrain and a dynamical constraint. The first two can be solved in what is known as a spin network (which now are going to be very popular in the string community also, because the have recently been used, in a very different framework, to almost prove the Maldacena conjecture). Basically an spin network is a graph. The edges are labelled by representations of SU(2) and the nodes by intertwiners, which are distinct ways of extracting the identity representation from the products of representations of the incident edges. Loosely speaking a given spin network represent the gravity field at a given instant of time. IF the canonical LQG program would be complete one would have a dynamical constraint that would give the evolution in time of a given spin network. But that has proved to be a very hard task. I thought that because of that LQG people had gone along with spin foams or with causal triangulations. What I didn´t know is that there was a relationship between canonical LQG and causal triangulations. I had knowledge of this by a somewhat unusual route, beginning in a recent paper of Fotini Markopoulus that lead me to a paper by herself and Lee Smollin, arXiv:gr-qc/9702025. There he argues that according to an idea of Penrose the very idea of fluctuations of the metric could be invalid in a theory of quantum gravity. The reason is that the causality depends on the metric, and that if this fluctuates the window is open for violations of causality. In view of this he believes that it would be of greater interest to keep trace of causality and the quantum fluctuations would fuzz the meaning of points and events. Smollin and Fotini propose a somewhat different approach.

The key point is that LQG is a theory where the area operator has a discrete spectrum in the sin networks and that suggests that there is a discrete length and time. In this framework there are discrete quantum analogues of both null rays and spacetime events. The latter are sharply defined because they are indeed defined in terms of the coincidence of causal processes. Quantum amplitudes are then defined in terms of sums over histories of discrete causal structures, each of which are constructed by a set of rules that respect its own causal relations. This is, I gues, the general justification of the approach of causal triangulations (I never have readed a dedicated paper about that topic). The interesting thing is how they relate it to canonical LQG. It is quite well explained in the paper how the proceed:

Each such structure, which we take as the discrete analogue of a spacetime,
is foliated by a set of discrete spatial slices, each of which is a combinatorial
spin-network. These discrete “spatial slices” are then connected by “null”
edges, which are discrete analogues of null geodesics. The rules for the
amplitudes are set up so that information about the structure of the spin
networks, and hence the quantum state, propagates according to the causal
structure given by the null edges.

The dynamics is specified by a set of simple rules that both construct
the spacetime networks, given initial spin networks, and assign to each one a
probability amplitude. Each spacetime net is then something like a discrete
spacetime.


But as I said before there is no dynamic constraint in LQG, where do these "simple rules" come from? By consistency with microcausality. I guess that the whole point is to use the rules of causal triangulations to the spin networks instead of simplices (If I am not wrong the causal triangulations are rooted in Regge calculus which is based in a discrete approach to path integral using simplices to represent space time). Supposedly he gives a rules that could led to relate the theory to some topological field theories in one side, and to some percolation models for which the renormalization group flow could be well studied. I find curious, to sy the least, that in a theory whose initial purpose was to do a canonical formulation the stop in the middle of the program and regret to a path integral, which is more naturally associated to Lagrangians, but, ok, let´s see what follows, here is idea of how goes the first rule for the 2d case:

Rule 1
Consider an initial spin network Γ0, which consists of a set of edges eij and
nodes ni (where eij connects the two nodes ni and nj). To obtain the 2+ 1
dimensional version of the theory we will restrict 􀀀0 to be trivalent, which
means it can be embedded in a two dimensional surface.
The first evolution rule constructs a successor network Γ1 together with a
set of “null” edges which each join a node of Γ0 to Γ1. The rule is motivated
by the idea that the null edges should correspond to a discrete analogue of
null geodesics joining spacetime events.

...............

The result of this rule is a spacetime spinnetwork G01 bounded by the
two ordinary spin networks Γ0 and Γ1 whose nodes are connected by a set
of null edges.In general a spacetime spin network (or spacetime net, for
short) will consist of a set of N ordinary spin network, Γi, i = 0, 1, ...,N,
together with a set of null edges that join nodes of Γi to nodes of Γi+1.

.

After that a most concrete justification of how the causality lead to that rule. IT continuates a clarification of how to do calculation with taht rule. Later the second rule is introduced, and, firstly, justified, this is the justification.

Rule 2
We might just apply Rule 1 over and over again, but the result would be that
each successor spin network has nodes of higher and higher valency. (This
is easy to see, if each node of Γn has valence P, each node of Γn+1 will have
valence 2(P − 1).) To prevent this from happenning we need a second rule
that lowers rather than raises the valence of the nodes.

Later the tow rules are combined in a transition law. I refer to the reader to the actual paper for the details. Now I stop to make some general concerns. First of all to remember that canonical LQG is centered in pure gravity, i.e., without matter. Naively it was expected that matter could be introduced by assigning to the spin networks, their nodes and edges, additional information that would represent matter. But that idea resulted to be plagued with problems, specially with chiral fermions, anomalies, etc. Aside or more or less conventional developments, such as arXiv:gr-qc/9704013 this approach derived in something that has become famous, the "octopi". You can read the lubos entry, obviously not favourable, about that particularhere or here

To be honest, I didn´t read the papers discussed by Motl, only it´s opinions and some related discussions in physic forum where Bilson Thomas, coauthor of that papers explained some aspects. The reason for not reading as basically that for me the whole idea seemed like a very bizarre way to describe matter in a combinatorial way. The "key idea" was expressed as "matter as a topological defect". Well, that´s fine in some sense, but still it was canonical LQG and it had no time evolution. So who is interested in a a very bizarre and incomplete description of non evolving matter? Nt me, for sure.

Well, as I mentioned before I added a RSS feed to the blog, and recently I saw there a paper by Fottini. Fottini Markopoulo has been promoted, at least in a a subliminal way as a "new Einstein", which looks like kind of an obsession for Lee Smollin. I was doubting, I still so, about writing an entry about this "new Einstein" affair so I decided to read the paper, actualy this one

By the same time I had ended to read a review paper about the status of M-brane interactions in M-theory just previous to the Bagger-Lambert revolution (it actually includes an intro to the Bagger Lambert theory). M-theory doesn´t contain a dilaton and however that in string theory the dilaton is associated to the string coupling constant there is not such a constant and consequently there is not a possibility to do a perturbative series for M-theory. This has some resemblance with one of the worsts problems in LQG, the lack of a classical limit. Being "non perturbative" LQG can´t probe that there is a low energy limit of it that, ideally, would be the Einstein theory. In the paper Fotini states that she has an approach that could lead to that classical limit. The idea is to identify quantities in canonical LQG that are conserved under time evolution and to try to identify them with classical observables. Afther reading this entry the reader can suspect that reading "canonical LQG" and "time evolution" in the same phrase is something shocking. That was which led me to do a fast reading of the paper, to locate the bibliography where that time evolution was explained (the one discussed in this entry of course) in order to get an idea of how to evaluate the meaning of conserved.

I am not going to explain the whole paper. Simply to say that the rules of evolution of the previous papers had been related to something called "Pachner moves". She stated that this moves can be shown not to change the topology of the simplicial complex that can be associated to a graph. This means that LQG doesn´t allow topological transitions. Fotini claims that that is good because classical general relativity neither allows it. I don´t know what she exactly means because in fact general relativity actually allows it, if we restric to the Einstein equations of motion at least, and only if additional restrictions are imposed that topology changes are forbidden. In fact the restrictions that one needs to impose are precisely causality related ones. It is not surprising that an evolution of spin networks based on causality restrictions neither allows topological changes. String theory, on the other side, allows such transitions, by the means, for example, of conifold, I hoe to post some day in detail about this very interesting topic.

Anyway, Fotini finds some invariants in the theory by means of the pachner moves. It dosen´t look a terribly difficult task, aat least superficially, if the pachner moves conserve topology every topological quantity would be conserved, isn´t it?

Because of some reason she makes a brief review of the theory of classification of two-dimensional surfaces based on relatively simple tools such as cross cup products and in general basic homological algebra. It is fine for the people not knowing that but it result curious to read it when string people use the most sophisticated topological machinery available without worrying about trivial things such like most phD in math don´t know such things. However, sh states that the conserved quantities can be probably associated to particles. In this way particles would emerge as topological conserved quantities from pure quantum gravity. She also predicts the existence of an infinity number of particle families. Not too bad thing, at lest if one forgets that there re some cosmological restrictions that heavily indicates that there are only three such families (the actually observed ones). If some additional family would ever be observed maybe LQG would gain a point. It is also notorious that a few mounts ago, doing a search for "fermionic wormhole" in arxiv I found an old paper by Smollin in that subject. There he tried to use the wormhole as a device to get matter from pure gravity. In fact I got the idea that the octonion idea was related to this purpose. This paper by Fotini, on the contrary, gets matter as a conserved quantity in an evolutions which doesn´t allow topology changes. aS far as wormholes are related to topology changes (at least if one doesn´t make some ad hoc considerations to advoid it)it looks like if the ideas has gone under a warped twist.

I remember once again to the readers the usual disclaimer that I don´t intend to present this posts as some kind of definitive review trying to impose some kind of authority argument. My only intention is to make an exposition of the flow of ideas and I leave to the reader to make his own conclusions

Black holes information distortion paradox

A few days ago a friend of mine, graduate theoretical physician, but not an active physician nowadays, and an ocasional reader of this blog,let me know of a new in the media versing about a resolution of the "black hole information paradox". The new was published in many webs, for example here. By the same time a thread was opened in physics phorums about the topic, concretelly Physicists Demonstrate How Information Can Escape From Black Holes based in LQG.

Ok, I suposse that I would have to somehow give an opinion about the new. I have waited a bit to see if, apart of physics phorums people, some of the big (or even not so bigs) ones on the blogosphere said something about the particular. Afther all Astekhar, the mainauthor of the paper behind the new, is one of the greatests personalities in LQG (the whole field begins with a work of him about new variables in canonical gravity) and the theme is very catchy, to say the less. For some reason there has not been such an entry in referential blogs, so I´ll try to give my humble opinion abot the particular.

First of all to say that I find that the claim of the new somewhat distort the actual nature of the achivement. Suposedly the paper solves the questions in the framework of LQG. Afther all in the news release you can read:

"Once we realized that the notion of space-time as a continuum is only an approximation of reality, it became clear to us that singularities are merely artifacts of our insistence that space-time should be described as a continuum."

The idea of discrete space-time strongly suggest that they are talking about LQG. Well, in the physics porum post somone pointed to the arxiv paper behind the news release, concretelly this, Information is Not Lost in the Evaporation of 2-dimensional Black Holes. The first bad thing comes in the title, "2-dimensional black holes". That is they solve the problem in a simplified modell, that always opens the possibilitie that the problem could not be solved in the full environment, afther all 3-d quantum gravity is very diferent from 4-d one.

Anyway, let´s see what is going on. In the last post I talked about LQG and I did a brief description of how LQG treats black holes (or at least one of the ways they do it when they face the singularity problem). As not every reader of this blog is assumed to speak spanish I´ll re-explain it. They don´t work in the full LQG framework but in modell with reduced simmetry. They get the Scharschild solution (a solution for vacuum Einstei equations, statif and with radial symmetry) and write the hamiltonial constraint equation fo it. They treat the radious as a discrete time coordinate. That results in a diference equation that can be solved and they show that they can evolve the solution for negative values of the radious, so they, seemengly, advoid the central singularity. Before reading the paper of Astekharet all I tried to figure how they could have procceded. To begin with the information paradox problem is related to matter in the vecinity of the horizont. So they would need to introduce in the description mttr in some wayor another. The original work of Hawkings that raised the whole problem used a fiexed Schwarschild background and an scalar field propagating in it. By the properties of quantization of fields in a courved backgrounds it was known that a vacuum state contianing no particles for aan observer is transformed in a state containg particles by a bogoliougov transformation for another non inertial observer. Playing with that, and with the conformal diagrams of black holes, Hawking derived that black holes actually emit radiation, in thermal quilibrium. That raises the problem that the black hole aan evaaporate because that procces. But the b-h was formed by matter in a pure state, and the thermally described matter is in a mixed stte, so the evolution would be not unitary (that is a bried description of the problem we are trating, for the ssafe of someone wouldn´t know it). Canonical LQG, the one in which Astekhar usually works, normally trates pure gravity, althought it can describe non fermionic matter also. Knowing that I thoguht that they would use some variant of the singularity removal approach including a klein-gordon field. Well, I was too naive.

They work in something called "Callen-Giddings-Harvey-Strominger (CGHS) black holes". I had not previous knowledge of that model, but the names behind it sound me "stringy", in particular Strominger is mainly an string theorist. Well, I was not wrong this time. The paper makes begins with a brief description of the hawking problems, some previous aproachs to the solution (açone by Hawking himself aaproach based in the maldacnena AdS/CFT corresondence) and just afther that talks about some workd in the early ninties triying to solve it in a toy two dimensional modell, the CGHS.

Just before writing the actual equation of the model the aouthor make a very courious advise:

"Although our
considerations are motivated by loop quantum gravity, in
this Letter we will use the more familiar Fock quantization
since the main argument is rather general"

So they say that we are not going to see a formalism related to LQG, alathought LQG is behing the scene. Well, that means taht we must belief in LQG, but we are not ging to see it. Ok, lets belive, at least for a while. Let´s see (part of)the lagrangian describing the model:

...

Now it is when one can beguin to be really surprised. We have that Phi is said to be a dilaton. But a dilaton is a field related to string theory. All of the strings theories have a dilaton. So we are in a modell inspired by string theory (an aspect that it is not mentionesd anywhere in the paper). R is the curvature and f is an scalar field. Well, ok, no problem, someone would expect their appearence.

Afther that they introduce the equatios associated to the lagrangian and begins the task of finding solutons resembling a black hole suited for their purposes. First they affront the classical case. They do it in a perturbative, recoursive, way. That is, they choose a candidate metric, calculate the stress tensor for the fields and reintroduce it in the Einstein equation. By dong that they find that the metric an develope a singularity that they can identify as a proper black hole.

Afther that they consider a quantized version, they add hats xD). Not, serously, they use a fock space tratement (in teh spirit of the Wald aproach to quantization in courved backgrounds, but this time quantizing the metric also). They afrront the uestion of quantization (solving the conmutator eqations to say that) by a bootstrapping procedure, a recoursive way similar to the classical one. They do the suual stuff of identifiying the average values with the classical solutions,but they face a problem when the metric becomes singular, and they cann not continuate the bootstraping. Afther that they use another procedure, a mean field approach MFA. They argue that the e relevant part to solve the information paradox depends on the behaviour of the MFA in the near future ifinity and with some 3 extra sumptions ( they explain that two of them aare commonly accepted and that the other is very natural) they can calculate the S-Matrix and se that it is unitary.

Well, the detaills of how valids are the asumptions (2-D space time, MFA, asymtotic regions, etc) is something that, fourtunately, I don´t need to judge. The key point that I want to raise is that what we see in the paper is very, very, far from any formalisms related to LQG. So to claim that this can be seem as a trioumph of LQG, if they don´t bring a future a paper (or smewhat point me that I am missing something important) where they addapt the calculations to something more LQG like, is to somewhat distort the truth. Or, at least, a too propagandistic deformation of facts ;-).

P.S. Seriously, I would like to leave this tasks to the famous physicists bloggers. For example, I am still wating Sean Carrol to post about the 't Hoof paper I writted about two posts above.

The trouble with LQG

A través del excelente blog física en la ciencia ficción llegué a otro blog, la bella teoria. Supongo, no lo sé con certea, que eso de "la bella teoria" debería ir por la teoria de cuerdas, que en su momento alguna gente consideró matemáticamente bella y elegante. En todo caso en el blog ví que se trataban con cierta frecuencia temas sobre teoria de cuerdas (aunque no exclusivamente). También observé que algunas de esas entradas contenían algunos errores elementles. De hecho le señalé al autor uno en una de las entradas, a lo que me respondio dándome las gracias por el aviso. Posteriormente he visto algún que otro error, pero no me he molestado en írselos indicando uno a uno. Yo no me considero una autoridad en teoria de cuerdas ¿alguien aparte de Lubos Motl se atreve a asumir ese rol xD? y soy consiciente de que es probable que en este blog haya errores en algún que otro aspecto. Además el tono de ese blog es claramente divulgativo, para un público general y las entradas estan escritas de manera amena y cuidda (con fotos y cosas así). Dado que no hay en español muchos blogs (si es que hay algún otro) que cumpla similar función (yo, por ejemplo, oriento este blog a gente de un nivel de conocimientos bastante mas elevado) no tiene sentido ir señalando fallitos, que es algo que supongo podriá resultar irritante.

El caso es que el autor ahora ha ido a leer el polémico libro de Lee Smollin "the trouble with physics". Tras hacer una presentación del mismo en una entrada publico una segunda titulada Gravedad cuántica, continuando la revolución de Einstein Cómo quiera que es muy poco probable que la gente que lea su blog (y aparentemetne el mismo autor) este al tanto de los detalles de las "string wars" en los blogs Motl ,Distler, String Coffe y not even wrong, y de las críticas que los teoricos de cuerdas han elaborado sobre el estado actual de la LQG dejé una respuesta, que no ha recibido ulterior réplica dónde resumía algunas de ellas. Por su interés para los lectores de este blog dejo aquí esa respuesta:

"Salvador, lo que estas comentando es lo que se conoce cómo LQG. loop quantum gravity, o gravedad cuántica de lazos en español.

Dado que en tu anterior post hablabas del libro "the trouble with physics" asummo que has sacado de allí la información sobre este post. Aprovecho pués para comentarte ambos temas en esta respuesta.

Llevo siguiendo la LQG, a nivel técnico, no de divulgacion, desde el 2003, cuando se hizo populara en una hábil maniobra publicitria de algunos de su máximos represetantes. Fué un producto muy bien vendido, sobre todo mediante un paper de review de Robert Thieman. Te presentan la idea general, explicando cómo el programa de cuantización canónica lleva a que el operador área esta cuantizado. Luego hay argumentaciones de que, mediante algo conocido cómo "double special relativity", que extiende el formalismo de la relatividad especial al caso de una longitud privilegiada (la de Planck) se llega a que la velocidad de la luz en el vacio depende de la frecuencia, para luego señalar que los satelites GLAST podrian llegar a comprobar eso en un lapso de tiempo breve (su lanzamiento estaba previsto para el 2005).

De ahí pasan a argumentar que deducen la entropia de un agujero negro, reproduciendo la fórmula conocida mediante la aproximación semiclásica de que depende de una potencia del área. No entran en los detalles, que dependen de una construccion de relatividad general poco conocida llamada "isolated horizonts" (y también de el concepto relacionado de "dynamic horizonts". Cómo casi nadie esta familiarizado con eso conceptos consiguen que en una primera lectura uno no caiga en que en el cálculo se esta asumiendo, como punto de partida, que la entroia depende del área. Además la teoria de la LQG tiene un parámetro libre, concido cómo parámetro de inmirizzi. Ajustando ese valor se consigue que la fórmula obtenida se ajuste. Total, que el único punto medianamente serio del cálculo es que el área esta cuantizada qu ehay que dividir el área total entre la unidad mínima de área para encontrar el número posible de microestados.

Luego pasan a cosmologia. Anuncian qu econsiguen demostrar el "rebote", es decir que no puede haber un big crunch pués usando factores cuánticos se comprueba que el colapso se detiene en un radio mínimo y luego hay un nuevo big bang. Claaro, eso no se hace dentro de la teoria completa sino restringiéndose a "minisuperespacios", es decir, subgrupos de las métricas posibles. Vale, se admite que es una aproximación, el problema es que no dan ningún criterio que permita hacerse una idea de cuan buena o mala es esa aproximación.

Por cierto, la LQG canónica, basada directamente en la gravedad clásica de Einstein y luego cuantizada de un modo raro, presuntamente no perturbativo, es estática. Para tener un espaciotiempo dinámico tiene que irse a un formalismo lagrangiano (las spinfoams). El caso es que las spin-foams no parten de la relatividad de Einstein sino de unas teorias clásicas que con ciertas restricciones, son más o menos clasicamente equivalentes a la relatividad de Einstein. Además hay varias de ess teorias clásicas y cada una lleva a una teoría cuántica esencialmente diferente.

Y bueo esas dos son las líneas fundamentales, pero aparte hay otras que asumen de partida que el espaciotiempo es discreto, lo cuál es mucho suponer. Y no quda muy claro la relación entre ellas.

Mas importante es que esas teorias cuánticas deberían tener un limite clásico que reprodujera la gravedad clásica de Einstein. Pué sbien, no han conseguido eso de una manera medianamente clara (lo mejor que tiene es obtener, mediante una serie de aproximaciones de dudosa justificación) reproducir, en el marco de algunas spinfoams algo que debería ser similar al potencial de Newton.

Vamos, que no digo yo que la LQG sea un sinsentido, pero desde luego tiene muchos problemas bastante serios.

Respecto a su mejor punto, la posibilidad de confirmación de la dispersión de la luz en el vacio, al final los satélites GLAST han tardado muchísimo en lanzarse, (deben estar a punto de salir ahí fuera por estas fechas). Un experimento en tierra hace unos meses dió un resultado preliminar en esa línea, pero no es conluyente (y hay ciertas teorias de cuerdas, bastante raras todo sea dicho, las cuerdas de liouville, que predicen algo similaar. De hehco fué un fisico de cuerdas quien hizo populñaar ese experimento).

Y, por si no esta claro, la teoria de cuerdas también es una gravedad cuántica, así que no se puede presentar esto cómo si fuera le más de lo más en gravedad cuántica y dejar de lado la teoría de cuerdas.

En fín, no me parece mal que comentes sobre la LQG, pero cuidado, que no es oro todo lo que reluce con es gente."

Bien, tras esa entrada Salva ha publicado otra . Más allá de los agujeros negros. No he leido "the trouble with hysics, sólo los comentarios, unos favorables (en la comunidad LQG) otros adversos, así que no tengo la certeza, pero si la firme sospecha, de que los datos de esa entrada salen de ese libro. En cualquier caso lo que si conozco es el tema específico tratado (agujeros negros en LQG) pués lei en su momento unos cuantos artículos originales sobre el particular. La entrada en sí no contiene ningún error, pero creo que es interesante que complete la respuesta que reproduje antes para explicar aalgo respecto a la singularidad de los agujeros negros en LQG.

El tratamiento de los mismos se hace inspiróandose en el formalismo de la LQG canónica, es decir, partiendo del formalismo Hamiltoniano. Al igual que se hacía en cosmologia con los modelos de Friedman-Robertson-Walker* se elige un subgrupo de métricas, para empezar la métrica de Schwarschild, que describe el campo gravitatorio estático y con simetría eférica que se supone es producido por una distribucion de masa esférica, idealmente concentrada en un punto, y se construye el hamiltoniano que corresonde a esa métrica. Recuérdese que en gravitación canónica el hamiltoniano consta exclusivamente de lo que se concoe cómo ligaduras (una ligadura es una relación que surge, en sistemas denominaods singulares, debido a que no es posible invertir la transformación que nos daría los "momentos" en términos de las "velocidades"). Tenemos pués el mismo problema que citaba antes para la LQC (loop quantum cosmology), que estamos eliminando grados de libertad , por estar restringiéndonos a un subconjunto de métricas, haciendo por tanto una aproximación. Lo malo es que no se tiene una estimación del error cometido en esa aproximación. La gente de teoria de cuerdas arguye que se estan eliminado demasiados grados de libertad y que la aproximación es totalmente injustificada.

Hay, sin embargo, un aspecto en que el tratamiento de los agujeros negros difiere de la LQC. En FRW tenemos una variable temporal, en una solucion de agujero negro tipo Schwarschild no. La forma de proceder consiste en que la ligadura cinemática de la LQG puede resolver en términos de Spin Networks. HAy una cantidad infinita, pero numerable, de spin networks. Bien, la "evolución temporal", es en cierto modo, la accion del hamiltonianao sobre la base de esas spin networks. La ligadura toma la forma de ecuacione en diferencias dónde el tiemo es el índice en la relacion de recurrencias. Para ese caso particular el índice de las spin networks pasa a ser el radio, es decir, el radio juega el papel del tiempo. No estoy 100% convencido de que me crea del todo esa interpretación, pero admito que tiene un cierto ingenio. Además en gravedad clásica es bien sabido qeu el radio si juega el papel del tiempo (por el cambio de signo de los componentes de la métrica en el interiro del horizonte de sucesos dle agujero negro). En todo caso lo que se hace es resolver esa ecuación en diferencias que da la evolución. A diferencia de la geodésica de la relatividad geneal clásica, que termina en el centro del agujero negro en un tiempo propio finito, o´nde el vlaor de la métrica se hace infinito (es una singularidad auténtica, y no producto de la elección de un mal sistema de coordenadas, como la dle horizonte de sucesos). Esa evolución puede prolongarse para valores negativos del radio. La interpretación de ese resultado es algo sobre lo que en los artículos no habia una pronunciacion clara, pero se aarguía que podria ser similar a los "baby universes" que popularizó Hawkings. Esos "baby universes" surgíeron en la aproximacion euclidea a la gravedad cuántica (el formalismo favorito de Hawkings). Alli lo que se hace es trabajar con métricas euclideas (resultado de cambiar en la métrica de Einstein de tiempo real a tiempo imaginario). En esas teorias también se puede eludir la singularidad central yéndose aun tiempo imaginario, eso se interpreta como la creación de un "baby universe". No conozco mucho la gravitacio cuántica euclidea, pero creo que esos resultados se conseguían alli haciendo una aproximación tipo WKB, con lo cuál no eran del todo firmes. De hecho yo siempre había visto la LQG cómo una versión de la gravitacion cuántica euclidea en un formalismo mas matemáticamente preciso, bastante cercana a su espíritu (algo con lo que no coinciden los teoricos de cuerdas). En cualquier caso esa es la secuencia de razonamientos que llevana evadir la singularidad del centro de un agujero negro en LQG. La fecha de publicación del libro de Smollin coincide más o menos con la fecha de los artículos que leí en su momento, con lo cuál no recoge los desrrollos posteriores de ese trabajo. La verdad es que esos trabajos en agujeros negros fueron casi lo último que leí con detalle de LQG, y que desde entonces la he seguido muy por encima, a través de los posts de physic forums (excepcion hehca del trabajo de Reuters en el grupo de renormalizacion, que sigo teniendo pendiente exponer por aquí algún dia de estos). Tengo entendido que lo que se hizo fué generalizar los resultados a conjuntos más amplios demétricas (especialmente en LQC, aunque también algo se hizo en agujeros negros) para ver si en esos conjuntosmás ampliso se mantenian los resltados y que estos o eran debidos a restringirse a métricas con excesiva simetría. Aparentemte se mantenian parte, la parte esencial, de los resultaddos, pero ya no puedo dar detalles (si hay algún experto en LQG entre los lectores se agradecerían las posibles puntualizaciones).

En fín, sirva este posts, en español, cómo rsumen de algunas objeciones comunes a la LQG expuestas de una manera que aunque somera, tenga un mínimo de detalle

MAGIC experiment, spacetime foam and wormholes

The most relevant new of this month was, probably, the announcement of the MAGIC discovery of indications of the possibility that light speed could depend on its frequency. The relevant paper is this.

it has been discussed in some blogs (Lubos, Peter Woit, Sabine) and some forums (for example physics forums or, in Spanish, migui´s forum. See the links of these blog to search them if you are interested). I will not add too much about it, at least not still. Just to state that, if truth, it would, probably, be a signature of a quantum gravity effect, and that would be the first quantum gravity effect ever observed, which is, of course, a very, very important thing.

The reason why these could be a sign of quantum gravity is also an interesting thing. LQG people reach to that conclusion from two sides. The best known one comes from the side of canonical LQG. There they state that the area operator has a discrete spectrum on the kinematical Hilbert space and that is an strong suggestion (but not necessarily a definitive one) that there is a minimum length. They have tried to probe the same result directly for the length operator but until now they have obtained only preliminary results because of redundancies on the quantization procedure (or something like that). Also it has been criticised that in the full, dynamical, Hilbert space the discreteness of the area operator could fail. Of course Lubos Motl and the stringy community knew that these result of discreteness made no sense long time ago. Pity that I have not seen a careful mathematical proof of their wordy arguments. Well, anyway, once you have a minimal length you can make a DSR (double special relativity) theory and get modified dispersion relations for the propagation of particles and you get the desired result presumably observed. DSR theories have many problems and nowadays seem to have derived into something named ESR (extended special relativities) which in some way results into some kind of nonconmutative geometry.

Other way, worst known, in which LQG people arrive to this kind of results is from a certain limit of spin foams which results, agian, into an NCG, see for example these paper for the details.

It is interesting to note that in fact any generic NCG (non conmutative geometry)could, potentially, give rise to a breaking of Lorentz symmetry and, hence, to a frequency dependent speed of light. Critical string theory could result, through a non zero vev (vacuum expected value) of the NS-NS antisymmetric tensor give rise to an effective theory describable by an NCG. Seemingly these would mean that critical string theory could explain these result, but in view that Lubos Motl doesn’t point in these direction maybe I am missing something. Also it is courius to note that critical (super)string theory is formulated in ten dimensions to avoid both, the conformal anomaly and, related to it, the Lorentz invariance. Even thought a solution of it, the NCG limit, violates Lorentz symmetry. Theses is not new, the solutions of a theory need not to respect the symmetries of the lagrangian.

Well, these are ways in which some could achieve the MAGIC ideal result (if the alternative explanations with no new physics could be discarded). But the paper doesn’t rely on any of these. It is related to a very special kind of strings, the Liouville strings. I had a previous knowledge of theses, and also of the fact that the mainstream string community had not in good estimate the works of their mayor proponents, Nanopoulos, Mavramatos, and all. I had inquired some people of the string community about these Liouville strings when it was announced in the CERN courier that they predicted the vacuum frequency dispersion of speed treated in these post (B.T.W. it is important to note that at least in the CERN courier paper the clearly stated that LQG perditions and Liouville string predictions were in the opposite direction, I have not seen people being to precise about these concern now).

At that time, 2003. I preferred to study LQG, which looked very promising at that time, and I didn’t pay mayor attention to Liouvile strings, the treatment of then in the Hatfield book "quantum field theory of point particles and strings" was dissuasory enough. For someone who doesn’t know anything about Liouville strings a quick comment. You treat the conformal factor of the world-sheet metric as an independent field. In the end it results into a Lagrangian for it which resembles something related to something previously known as Liouville field (I don’t know the exact reason). The problem is that the lagrangian contains an exponential of the field so it is very hard to work with it. In the Hatfield book it is shown that these problem is related to the fact that the 2d bosonic fields of the world-sheet don’t decouple from the 2d gravity and that means that you are doing 2D gravity. It was studied through matrix models (not the same matrix models related to M theory) and at least in the epoch of the Hatfield book they didn’t allow a reasonable formulations in D<25, that is, they didn’t allow a formulation of string theory in four dimensions which was the main goal of that theories. Probably later the have had some improvements, still i am not too sure.

My idea, when I first tried to think how Liouville strings could result into the MAGIC effect was very obvious; they brooked Lorentz invariance, which was enough. But I begun to read the papers linked in the announcement article and I got shocked. They talked about decoherence, hawking radiation, the role of the Liouville field as an emergent time and the role of spacetime foam as the source of the effect. Separately any of these statements seem bizarre, but together, well, at last I understood why Lubos didn’t even mention "liouville strings" in his entries about these announcement ;-).

I didn´t read in deep any of the papers of nanopoulos and all, but I have made some partial readings related to some of the aspects. I’ll speak a bit about the spacetime foam (not to confuse with the LQG community spin foams). The idea of spacetime foams dates back to wheeler. The idea is that at small scale the quantum fluctuations of the metric become very important and the plane spacetime disappears. In that "foam" could, at least it is cited so in the usual divulgation, happen unusual things, such as topological changes of spacetime. These could result in the virtual formation, and annihilation, of things such as black holes, and also, wormholes (a bit more on these later).

This is the naive view. Stringy theorists claim that S-duality changes drastically this scenario. The reason is as follows, when you get some string theory in weak coupling you can prove that it´s correspondent in strong coupling is another string theory (or maybe M-theory or F-theory in certain circumstances). For example, the dual object of a fundamental string is a D1-brane. Also there is duality between different branes (including duality between D-branes and NS5 branes). How this duality prevent the spacetime foam? It is somewhat obvious once one thinks about it. The strong coupling theory corresponds to the limit where the spacetime foam would appear and instead of it one gets another string theory. I have not had time to think to much about these, but I see some possible subtleties. The first one is that the S-duality is obtained by some heuristic arguments in perturbative theory which can be extended to non perturbative one with the help of supersymmetry. That raises the question of how much these dualities are related to supersymmetry or to D-branes. These could seem irrelevant, but not necessarily. In open string theories (for example, the bosonic one) D-branes appear as diritlech conditions for the extrems of the open strings. You don´t need supersymmetry and RR charges and all that for the existences of that D-branes. I have no notice of the search of string dualities for the bosonic string, but naively one would spect that still the S-dual of an fundamental bosonic string would, again, be an D-1 brane, but I can´t say for sure.

In fact all these could seem totally uninteresting to someone. I still think that to clarify the exact role of supersymmetry in the dualities is basic, after all pure (non stringy) supersymmetric theories also have branes and maybe there is some kind of S-duality betwen point particles and 0-branes and these would mean that supergravities also forbid the spacetime foam. But by now my concern about spacetime foam will go into anther direction, the (noncritical) Liouville strings.

If the reader makes a google search (s)he will find that in closed string theory there are also D-Branes, introduced as boundary states in the conformal theory (see, for example, my previous post about these theme). The interesting, for this post, fact is that also noncritical (closed bosonic) strings can be shown to have D-branes. If the S-duality depends exclusively in the existence of D-branes that would mean that there is no reason for the existence of spacetime foam in Liouville strings, contrary to the claims of Nanopuollos at all. On the other side if the S-Duality depends on supersymmetry it is expected that (super)Liouville strings (the relevant ones if the theory must reflects the reality which has fermions) would also have S-duality and so no spacetime foam. The obstacle for these would be the existence of D-branes, but as far as I see the Liouvile strings would have the same R-R sector, and charges, and so some kind of D-branes, in the appropriate dimensions, so one would expect definitively no spacetime foam. Well, that is what I expect previous to a careful reading of that papers, why didn´t i did it?

Well, that leads me to the last topic of the post, the wormholes. I assume by now that all my readers have the intuitive idea of what a wormhole is. I´ll make a separate post in this topic anyway. This time I´ll just say a few things. On one side one of the ideas of Wheeler is that they could be formed in the space time foam. After all the continuous evolution of a metric can, in general, drive one for spaces with a certain topology to others with a different one.

But if one studies carefully general relativity one learns that there are some theorems stating that if causality must be respected everywhere there cannot be such transitions in topology. Also quantum tunnelling between different topologies could be ruled out under certain reasonable assumptions. Wheeler seemingly ended by trying to achieve something different. Instead of absolute changes in topology you could search for effective changes, i.e. that the transition point between topologies would be of subplanckian size, but not a point. Anyway, I know that string theory claims that it allows topology changes in space time. And also it describes wormholes. In fact (transversable) wormholes relies for it’s stability in some special matter, or, in the presence of a positive cosmological constant. The discovering of these constant in the actual universe has launched an interest in wormholes in the string community, specially in the Randall-sundrum sceneries. I begun to study some papers, but I got somewhat lost and searched for some guidance. I have found very interesting, and very useful, the book by M. Vissier: "lorentzian wormholes" (1996, springer verlag). It is focused in "relativistics" viewpoint on white holes and I am not sure if he says anything about string theory. Also it is previous (I gues) to the discovery of the accelerating universe. And it is somewhat old. But still so it is being one of the most interesting books I have readed for a time, it is very well writing and results easy to understand, at least if you have a good basic in GR. When I would have readed this book (or a relevant part of it) I will try to read the papers of nanopoulous and comment on them. Oh, yeah, I am also reading occasionally a classical (1993) paper in closed string field theory inthe BV antifield formalism. I have confident knowledge that it is, even today, a relevant paper and that you need to read it if you are interested instring field theory. But compared to the Witten open string field theory, and it´s results about tachyon condensation I find these paper terribly boring, yeah, I know that is of topic to these post but...I needed to say it!!! ;-)

Loop quantum gravity (II)

Habíamos visto por encima el formalismo ADM. Vamos a mantener la misma foliación del espacio-tiempo que para evitar confusiones de notación aquí denoto por Et=MxR.

Dejo una imagen que pueda aclarar un poco esto de las foliaciones, que es importante visualizarlo para entender la parte clásica de estas teorias:



Doy ahora también mas detalles de la descomposición de los vectores tangentes a cada foliacion en términos de los vectores lapso y desplazamiento, es decir, un vector arbitrario en el espaciotiempo de cuatro dimensiones (T), lo podemos descomponer del siguiente modo:

a) En cada punto de la hoja tridimensional definimos el vector ortogonal y unitario a la hoja (n). Y un vector tangente S_a

Así cualquier vector se puede descomponer en:



Donde N es la función Lapso, la que nos indica como pasamos de una hoja a otra y es el vector de desplazamiento, es decir, el vector que nos dice como nos movemos sobre la hoja, cuyo vector tangente es . Notemos que los índices griegos son asociados al espaciotiempo completo y los latinos a la hipersuperficie tridimensional en este caso.

(La notación difiere de la de la figura pero no es dificil reescribirla)

Voy a poner algunas expresiones explicitas de las fórmulas propias del formalismo ADM porque en la LQG aparecerán de distinta manera. Si alguien se marea con las fórmulas tranquilidad, que intentaré discutir el significado intuitivo de las mismas para que se pueda seguir la argumentación sin depender (demasiado) de ellas:



Aquí D es una diferencial covariante compatible con q_ab, la métrica en el slice (corte) M. Y los P´s son los momentos canónicos definidos por:



Esta es la ligadura de difeomorfismos espaciales. Representa la invariancia de teoría bajo cambios de coordenadas.



En términos de estas dos ligaduras el hamiltoniano queda:



Aquí los varios P´s que aparecen son los momentos conjugados a q_ab, N y U^a. Las λ son multiplicadores de Legendre que sirven para implementar las ligaduras (es algo similar a los multiplicadores de legendre que aparecen en problemas de minimización de funciones sometidas a una condición). Se puede ver que las U^a y N juegan también un papel cómo ligaduras. De hecho debo decir que esta fórmula esta tomada de uno de los reviews clásicos de la LQG, el de Thieman, y en este punto resulta algo confuso, la relación con formas mas habituales de este hamiltoninao puede verse del siguiente modo: lo que ocurre es que esas P's están relacionadas con las ligaduras C y V, de hecho son ellas mismas cambiadas de signo, con lo cual se eliminan del analisis efectuado sobre la base de las ligaduras de primera clase, y al final solo te queda el Hamiltoniano dependiendo de C y V, siendo la función lapso y el vector desplazamiento multiplicadores de Lagrange, y así se obtiene el Hamiltoniano empleado.

A modo de resumen rescato lo más importante de lo introducido en este formalismo. Tenemos las variables que juegan el papel de "coordenadas", las q_ab y sus momentos conjugados P_ab. Cómo no se pueden "despejar" unos en función de otros en el formalismo hamiltoniano aparecen dos ligaduras. Una, V, que representa la invariancia bajo difeomorfismos y otra, C, que representa la dinámica del sistema y por eso se conce cómo ligadura hamiltoniana. Esta ligadura es la que, cómo dije en la entrega anterior, se conoce cómo ecuación de Wheeler-de Witt, bueno, para ser mas exactos la "version cuántica" de esta ligadura, ya explicaré al final este matiz.



Cómo avancé la LQG era una especie de "cambio de variables" para el formalismo hamiltoniano. Para entrar en LQG necesitamos introducir el formalismo del vielbein:

Este formalismo (también conocido cómo el de la tétrada) fue introducido por Elie Cartán. Entre otras cosas permite introducir fermiones en la relatividad general, algo muy útil, pero aquí no haré hincapié en ese aspecto.

La tétrada e_uⁱ, o vielbein, es (así le gusta decir a la gente) una especie de raíz cuadrada la métrica (en realidad es un sistema de referencia orto-normal, bueno algo así), las ecs. que cumple son:





η= métrica de Lorentz.

La verdad es que este formalismo del vielbein al principio es algo anti-intuitivo, intentaré dar una pequeño feeling de su uso y sentido.

Recordemos que una métrica puede verse del siguiente modo:




dónde las ettas son los vectores tangentes a la variedad. Pués bien, por el principio de equivalencia sabemso que hay un sistema de coordenadas localmente inercial cuyos componentes, vecotres tangentes en un punto dado, denoto por e_m. Pués bien, la relación de la métrica con el vielbein puede verse cómo una relación entre estos vectores tangentes:




Esta construcción vale también para la métrica tridimensional q definida en los cortes M de la foliación del espacio-tiempo en MxR.

Asociada al vielbein de esta la conexión de spin:

que cumple



dónde son los símbolos de Christoffel asociados a la métrica q_ab

Aprovecho para indicar que en el formalismo de la tétrada hay un aspecto interesante, la posibilidad de considerar la conexión, y no la métrica cómo el campo básico que describe la gravitación, formalmente esto quiere decir que aplicamos el principio de mínima acción a este campo y no a la métrica. Es este detalle el que permite que en LQG haya la posibilidad de tenr gij=0, es decir, que no haya espacio, mientras que en el formalismo normal la ausencia de gravedad indica que tenemos η cómo vacío.

Pero sigamos, vamos a introducir una nueva cantidad A. Esta cantidad va a jugar un papel similar a un campo gauge SU(2), pero con matizaciones que ya iremos viendo. Uno se puede preguntar, con toda la razón del mundo, ¿que pinta aquí un grupo SU(2)? Voy a intentar aclararlo un poco.

Es importante de que no detallé mucho a cómo se introducía la conexión, bien, esa conexión se puede asociar con un grupo, el grupo de la fibre bundle. El caso es que aquí pasamos a trabajar en un slice tipo ADM.
Por tanto tenemos una 3-variedad, y con esa 3 variedad construimos un fibrado. ¿Que grupo tiene ese fibrado?, pués el grupo de invarianzas locales. Puesto que estamos en un slice riemaniano ese grupo es el SO(3), es decir, localmente el espacio es euclideo y tiene invarianza bajo rotaciones euclideas. SO(3) tiene de grupo recubirdor SU(2), así que ya hemos llegado a puerto.Si no trabajaramos con el slice tendríamos una 4-variedad y el grupo sería SO(3,1) (Correspondencia al la invarianza lorentz local).

Para quien no sepa nada de fibrados intentaré explicarlo de otro modo. A muchos os sonará el siguiente"experimento mental" de Einstein del que surge el principio de equivalencia. Una persona en caida libre dentro de un campo gravitatorio no experimenta ninguna fuerza. Sin embargo si esa misma persona se ve parada en su caida por algún tipo de superficie notará que el campo gravitatorio le empuja contra la superficie. Es decir en ese punto tenemos dos posibilidades, estar enciada libre y no sentir ningún campo gravitatorio y estar sometido a una fuerza gravitatoria. En términos matemáticos eso significa que localmente siempre podemos encontrar un sistema de referencia, el de caida libre, en el que el campo gravitatorio no existe. Pero un sistema sin campo gravitatorio se describe por la relatividad espacial, que tiene el grupo SO(3,1) com invariante). Ahora bien, esto puede hacerse sólo localmente. Para dos puntos cercanos el sistema "libre" de uno no lo será para otro. Lo que se puede, sin embargo, es asociar a cada punto del espacio tiempo un sistema de referencia en caida libre (sistema de referencia inercial). Bien, eso es una fibración. Y en este caso cóm cada punto de la fibra (cada sistema de referencia inercial) tiene un grupo de invarianza tenemso un fibrado principal en el que el grupo actua sobre cada fibra. Sí, vale, imagino que este intento de explicacion "fácil" no es muy compresnsible, pero es que los fibrados no son la cosa más sencilla delmundo.

Bien, tras esta explicación pongo la expresion de A.




Aquí K^ij es la curvatura extrínseca, β es un parámetro libre de la teoria conocido cómo parámetro de barbero-Inmirizzi y ya iremos viendo que juega un papel importantísimo en la teoria. Puede tomar cualquier valor complejo distinto de 0. En la formulacion inicial de Astekhar este parámetro tomaba el valor i (raiz de -1). Con este valor la forma de la ligadura hamiltoniana (que ya veremos) tomaba una forma muy sencilla. Para este valor el SU(2) asociado es un SU(2) complejo y por tanto no compacto. Sin embargo si se toman valores reales el SU(2) es real y por tanto compacto. Esto facilita muchas cosas, pero no en particular la forma de la ligadura hamiltoniana que en general tendrá una forma complicada, pero ya digo que iremos viendo cosas varias de este parámetro a lo largo del tema.

Ya tenemos unas nueva variables, cómo aduje que era nuestra intencion buscar, Las A´s ("campo gauge") y las E´s (tétrada densitizada, i.e. dividada por la raíz de la métrica). Se puede expresar el lagrangiano de la RG en estas variables y se pueden calcular los momentos canónicos asociados. Cómo era de esperar aparecen ligaduras. Y supongo que no es de extrañar que las ligaduras en lsa nuevas variables guarden similitud en su significado a las ligaduras en las otras variables, así pués las denotamos igual y tenemos:




Aquí F es el análogo al tensor que en los campos gauge juega el papel de tensor campo electromagnético y tiene la expresion:




La "ligadura hamiltoninana" tiene la forma:


Dónde "Más" indica términos adicionales de similar factura.

En este formalismo sin embargo aparece una nueva ligadura. Cóm he dicho La A juega el papel de un campo gauge y se sabe que los campos gauge tiene una ligadura, la ley de Gauss:




Lo interesante es que ahora todas las ligaduras son polinómicas en los campos, en contraste con le caso ADM en que no lo son. Por tanto son más sencillas de resolver. Más sencilas, evidentemente, no quiere decir sencillas, de hecho son dificilísimas de resolver, pero al menos se puede hacer algo con ellas. Todo el programa de la LQG canónica consiste, en realidad, en "pelearse" con estos malos bichos. Ya iremos viendo cómo se hace, pero voy a dar algunos matices más necesarios paa entender por dónde iremos.

Lo primero es señalar que puede que no os hayais dado cuenta pero hasta ahora todo lo que se ha hecho en este post es RG clásica. Todos los campos son clásicos. LAs ecuaciones de ligadura pueden tratarse y resolverse de manera puramente clásica mediante, por ejemplo, el programas de Dirac, que consiste en cambiar los corchetes de Posisoson por "corchetes de Dirac" que seleccionan los estados físicos y tal y cuál. Pero en LQG se va a intentar hacer relatividad cuántica. Así pués, siguiendo los pasos habituales, se van a sustituir las "posiciones" y los "momentos" por operadores cuánticos. Aquí las "posiciones" eran las q_ab y los "momentos" Las E´s. Pués bien, siguiendo el procedimiento habitual en QFT se convierten estos campos clásicos en operadores que actuan sobre un espacio de Hilbert. Ahora bien, las constraints se expresan en términos de estos campos ¿cómo se van a expresar en la version cuántica? Pues del mismo modo que se hace con las teorias gauge normales. Se impone que los estados físicos sean anulados por las ligaduras, es decir:

L|φ>=0

Donde estoy denotando por L una ligadura arbitraria y |φ> representa el estado cuántico. Bien, ahora ya he explicado con más detalle matemático el programa de la LQG y he introducido su parte clásica. No voy a analizar en este post, ya lo dije antes, cómo se resuelven las ligaduras, pero al menos si voy a explicar de dónde viene el nombre de loop quantum gravity.

En las toerias gauge ordinarias, basadas en un campo gauge A, se construyen los "wilson loops" correspondientes. ¿Que es un Wilson loop? la definción matemática es esta:




dónde C es un contorno (curva cerrada) y P es el "path-ordering" que no definiré pués no me voy a meter a fondo con los wilson loops. En teorías gauge ordinarias los wilson loops permiten reconstruir, a nivel clásico, la conexion gauge. A nivel cuántico son operadores que crean excitaciones del campo gauge localizadas en el lopp (el conctorno C).

Eso en teorias gauge "ordinarias" ¿que papel juegan en LQG?. Bien, más o menos la idea es que también se convierten en operadores. Recordemos que los operadores en mecánica cuántica tienen autoestados. Pués bien, los autoestados asociados a los Wilson loops generan estados cuánticos que satisfacen dos de las ligaduras anteriores, la ley de gauge y la V de los difeomorfismos. Aparte de eso tienen otros significados intuitivos relacionados con áreas y demás. Pero ya anticipé que no son la mejor base posible para la LQG y han sido abandonados en favor de unos nuevos tipos de estados construidos a partir de grafos (con ciertas relaciones de equivalencia metidas por ahí en medio), las spin networks que también resuelven las dos ecuaciones de ligadura y que nos dan el espacio de hilbert "kinemático". Pero eso para una próxima entrega.

Por cierto ¿habeis visto alguna pega hasta aquí? No, ¿verdad? Pués vereis, resulta que se aduce que este cambio de variables es de algún modo local (imagino que se refieren a que hay que hacrlo carta por carta-hablando en términos de variedades diferenciables-). El caso es que, anticipo ya, uno de los resultados de la LQG es que el operador área actuando sobre los esados de las redes de spintienun espectro discreto, es decir, que el área esta discretizada en LQG. Pué bien, se critica que esa discretizacion se debe exclusivamente a ese carazter local del cambio de variables. Yo particularmente es algo que no veo nada claro (no he visto el desarrollo pormenorizado de esa crítica). Pero la verdad es que es algo absolutamente crucial para todo el programa de la LQG, tanto el canónico cómo el resto. En la LQG canónica porque varios de sus éxitos dependen de ello. Muy asociada a la LQG estan la teorias de double special relativity que imponiendo la la relatividad especial de Einstein la existencia de una longitud mínima (algo razonable si existe un área mínima) implican que la velocidad de la luz en el vacio depende de su frecuencia (algo que podría ser constatado experimentalmente dentro de no mucho si es cierto). Las DSR tiene sus propiso problemillas, pero sin ese resultado de cuantizacion del área pierden su mas fuerte motivación. Pero es más grave aún, algunos puntos de partida para teorias tipo LQG (triangulaciones dinámcias, cálculo cuántico de Regge) parten de un espacio-tiempo discretizado. Aunque hay motivos heurísticos para considerar pausible esa discretización la verdad es que ese resultado de que el operador área tiene espectro discreto es un resultado mucho más potente que da mucho más crédito a todos esos programas. Si ese resultado esta mal, es decir, es un producto de la elección de variables y no refleja ninguna verdad "profunda" la LQG pierde bastante de su sentido.

Loop quantum Gravity (I)

He hablado por aquí de la loop quantum gravity pero hasta ahora no había explicado nada de ella. A raíz de empezar a participar en un foro de CF, www.sedice.com, me encontré con que me pidieron un post sobre el tema. He aquí la primera parte del mismo (ligeramente retocada). Aviso, en el post se repiten algunas cosas que ya he explicado, y mas extensamente aquí, pero creo que no viene mal tenerlo todo junto.

Respecto a los conocimientos previos voy a intentar abarcar varios espectros de lectores. a todos ellos les asumiré una cierta familiaridad con la cuántica y con la relatividad general cuanto menos a un nivel elemental. Pero también tendré en mente a quien tenga una sólida base en física y no conozca este campo concreto. Imagino que cada cuál podrá sacar de párrafos concretos una idea que estará en función de su nivel. Y tras estos prolegómenos vamos con el tema.

Primero explico porque se investiga en estos temas. En la física establecida tenemos dos grupos de teorías, unas que explican todos los datos experimentales relacionados con las interacciones en las que interviene las fuerzas electromagnéticas y las nucleares débiles y nucleares fuertes. Estas son teorías cuánticas. Para ser concretos son teorías cuánticas relativistas. Están son bastante distintas de las teorías cuánticas "ordinarias". Paso a explicar porque pues es relevante y me sirve par introducir unos conceptos que usaré más adelante.

En cuántica no relativista el problema tipo es resolver la ecuación de Schröedinger independiente del tiempo. Esta es una ecuación en derivadas parciales para una función de onda. Una vez resuelta se tiene la expresión matemática de esa función de onda que nos da información sobre el sistema, los observables (energía, momento angular total, momento angular en el "eje z" y spin normalmente). La solución a esa ecuación no va a ser casi nunca única y va a haber una familia de funciones de onda. Cada una tendrá sus propios valores de los observables.

He usado la expresión "ecuación de Schröedinger". Esto es correcto, pero conviene resaltar un punto. No hay una sola ec de Schrëdinger. Par cada sistema físico hay una. Por "sistema físico" me refiero a situación física bajo estudio. Si estoy estudiando el átomo de hidrógeno esa ecuación tendrá un término que haga referencia al potencial culombiano. Si estudio el oscilador armónico habrá un término que haga referencia al potencial armónico. Esto es un poco lioso si sólo vemos la ecuación como una ecuación en derivadas parciales. Las cosas se aclaran más introduciendo algunos conceptillos.

En mecánica clásica newtoniana tenemos la famosísima ecuación de movimiento F=m.a. (fuerza igual a masa por aceleración) que es una ecuación diferencial. Ahí al igual que en cuántica, tenemos que F varía de un sistema físico a otro. Aunque útil la ec. de Newton es un poco latosa de usar en muchos casos prácticos. Por eso surgieron otros formalismos matemáticamente equivalentes. Hablaré del lagrangiano y el Hamiltoniano.

La idea del Lagrangiano es escribir una expresión que representa el sistema físico. Y a partir de esa expresión dar un "algoritmo" que permita obtener las ecuaciones de movimiento. Para sistemas clásicos este lagrangiano normalmente va a ser de la forma:

1. L= T-V

Aquí T es la energía cinética y tiene la forma T=1/2mv ² y V es el potencial en el que se mueve la partícula. Cómo sabréis, espero, la velocidad es la derivada respecto al tiempo de la expresión que nos da la posición de la partícula en un momento dado.

Bien, este lagrangiano es clave en mecánica clásica y en teoría cuántica relativista. En teoría clásica porque se extraen de el las ecuaciones de movimiento (y otra información) En teoría cuántica relativista (a partir de ahora QFT, i.e. quantum field theory) aparte de las ecs. clásicas se obtiene a partir de el Lagrangiano muchas otras cosas (cantidades conservadas, elementos de matriz S, etc) mediante otros procedimientos. Aprovecho ya para indicar una diferencia. Hay un lagrangiano para una partícula y un lagrangiano para un campo. El lagrangiano de una partícula da, como dije, las ecuaciones de Newton. El lagrangiano para un campo da las ecuaciones de campo. Por ejemplo se puede escribir un lagrangiano cuyas ecuaciones clásicas son las ecuaciones de Maxwell del electromagnetismo. Para ser precisos se habla de lagrangiano para una partícula y de densidad lagrangiana para un campo, pero no siempre es necesario precisar tanto. Es importante señalar que el lagrangiano de un campo no siempre tiene la estructura de la ecuación 1. Por ejemplo el del campo electromagnético no tiene esa estructura.

Bien, dije lagrangianos y hamiltonianos. Aún no he hablado del hamiltoniano. En realidad todos habéis visto, en cierto modo, el hamiltoniano. El hamiltoniano s una expresión para la energía. En el caso sencillo de una partícula moviéndose en un potencial el análogo de la expresión 1 será:

2. H= T +V

Voy rápidamente con matizaciones muy importantes. El hamiltoniano es más que la expresión de la energía. Tanto en mecánica newtonina cómo en Lagrangiana se pueden obtener expresiones para la energía que son de la forma 2. Así pues hay más truco. Primero aclaro que es la energía. En formalismo lagrangiano es "una integral primera de las ecuaciones de movimiento". Intuitivamente puede verse que ciertos sistemas, los no disipativos, conservan una magnitud en su evolución temporal, esta magnitud conservada es la energía.

La clave que diferencia el formalismo hamiltoniano del lagrangiano y que es fundamental en LQG es que en el formalismo hamiltoniano se expresa la energía no en términos de las velocidades sino en términos de los momentos. Explico esto para la partícula libre (i.e. V=0). En este caso L= 1/2 m.v² . Bien, todos habréis oído hablar del momento lineal, denotado p. Y recordareis que tiene la expresión P=m.v. Así pues podemos despejar v en función de p, i.e. v=v/m. Si sustituimos en el lagrangiano nos da H=(1/2m). P².

Bien, esto tan sencillo aparentemente oculta muchísimas sutilezas que son claves tanto en teorías gauge como en LQG. Para empezar todos sabéis que es el momento he dicho. ¿Seguro? En realidad no es tan sencillo. El momento tiene una definición técnica, una derivada parcial del Lagrangiano respecto a la velocidad (con una variante adecuada para densidades lagrangianas relativistas y no relativistas).

Técnicamente el Hamiltoniano surge de una "transformada de Legenddre" del lagrangiano, pero a efectos prácticos puede verse cómo una expresión obtenible del hamiltoniano mediante una operación matemática sencilla (que en el caso de la partícula clásica se traduce en el cambio de la expresión 1 por la expresión 2) y la sustitución de las "velocidades" por "los momentos".

El primer paso puede implementarse sin (excesivos) problemas en cualquier teoría. El segundo ya no. ¿Por qué? Pues porque la sustitución de las velocidades por los momentos puede no estar definida de manera única. Aparecen lo que se llaman ligaduras. Aclaro, algunos habrán estudiado ya lagrangianos y hamiltonianos en mecánica clásica (y a estas alturas estarán aburridos cómo una ostra). Allí hablan de ligaduras y de que el lagrangiano permite escribir las ecs de Newton en "coordenadas generalizadas". Bien, esas ligaduras no son las mismas conceptualmente a las que acabo de introducir.

Vamos un poco más con las ligaduras. En mecánica clásica casi no hay sistemas con ligaduras. En cuántica relativista las hay siempre en los casos mas interesantes. Y esto es porque las famosas (espero) teorías gauge son teorías con ligaduras. El electromagnetismo clásico es una teoría gauge. Y tiene una ligadura. Esta ligadura os sonará, se suele conocer cómo la ley de Gauss y se conocía mucho antes de que Dirac introdujera el concepto de ligadura para sistemas cuánticos (con intención, precisamente, de tratar la gravedad).

Volveremos más tarde con las ligaduras, pero retomemos la cuántica. Ahí deje pendiente ver que era la ecuación de Schröedinger. Pues bien, la ecuación de Schröedinger independiente del tiempo es lo que se conoce cómo una ecuación de auto-valores si se expresa en términos del Hamiltoniano, en concreto:

3 .Hφ = λ.φ ( φ denota la función de onda)

Por supuesto ahora el hamiltoniano es el hamiltoniano cuántico. Este se obtiene del clásico sustituyendo el momento clásico p por el operador momento (básicamente la derivada con respecto a la posición) y la coordenada de la partícula (que suele aparecer en el potencial) por el operador momento (en realidad ahí casi no hay cambio en la notación, aunque sí en el concepto, ahora la coordenada multiplica a la función de onda).

Esta es la ec. independiente del tiempo. La dependiente del tiempo nos dice que la derivada (parcial) de la función de onda respecto al tiempo es igual al hamiltoniano actuando sobre la función de onda.

Dije al principio que esto es para cuántica no relativista. ¿que pasa con la cuántica no relativista? Ya anticipe algo, pero voy ahora con ello.

Por culpa del famoso E=m.c² tenemos que si hay suficiente energía se pueden formar partículas. De hecho como existen partículas sin masa en reposo, por ejemplo los fotones, siempre pueden formarse partículas. Es decir, no hay un número fijo de partículas en el sistema. La cuántica "ordinaria" esta bien para tratar con un número fijo de partículas (en muchos casos con una sola) pero no con un número indeterminado. Por esto, y por otros motivos que no trataré, en cuántica relativsta uno ya no se ocupa de calcular funciones de onda. Ahí lo que se busca es calcular probabilidades de transición (elementos de matriz S). Es decir, la probabilidad de que si en un instante de tiempo (formalmente t en el infinito pasado) hay una serie de partículas incidentes que chocan (interaccionan) en un tiempo posterior (formalmente en infinito futuro) dan por resultado una serie de posibles partículas resultantes. Hay, normalmente, varios resultados posibles para las partículas resultantes, cada uno con su probabilidad. También hay que considerar las distribuciones angulares en que salen despedidas esas partículas. Estrictamente el estudio de choques no es exclusivamente relativista. Existe matriz S para cuántica no relativista. Pero el aso es que el formalismo matriz S es mucho mas importante en QFT. Por cierto, experimentalmente no se obtiene la matriz S sino una magnitud relacionada llamada sección eficaz de dispersión.

Bien, vamos con un aspecto muy importante. Las partículas incidentes y resultantes se corresponden con estados descritos por sistemas de partículas libres (en el infinito pasado e infinito futuro las partículas no interaccionan). En la región de transición "reina" el término de interacción. Los cálculos de las interacciones son complicados. Feynman, para ayudar a entenderlos , y también efectuar los cálculos, introdujo el concepto de partícula virtual. Este es muy importante. La idea es que un fotón y un positrón (por ejemplo) interactúan intercambiando un "fotón virtual" que es la partícula mediadora.

Bueno. un larguisimo post y aún no he dicho nada de LQG. Muchos ya conoceis lo que he expuesto (supongo). Pero necesitaba introducir en un contexto mas sencillo una serie de coneptos que os permitirán entender mejor la LQG. Vamos ya con ello, que ya es hora.

La relatividad general, que describe la gravitación, es una teoria clásica, i.e. no cuántica. De hecho es la unica interacción que hay que no es cuántica. Eso es raro. Uno podriá pensar que "el universo es así". Y además los fenomenos cuanticos que involucren a la gravitacion son muy irreleantes a efectos prácitos (bueno, eso dicen xD). Pero tratar a la vez fenomenos cuánticos y fenomenos gravitatorios de forma clásica es inconsistente. Así que definitivamente hay que buscar una gravitación cuántica (o alguna alternativa, la que sea).

Aqúi ya vamos a hacer una importante excisión. De un lado hay fisicos expertos en QFT. De otro expertos en RG (relatividad general), y cada uno "barre para casa". Los QFT, empezando por Feynman, intentaron plantear la gravedad cómo una QFT. Al igual que le fotón media la interaccion lelectromagnética (y los diversos bosones intermedios las otras interacciones) debia haber un mediador de la gravedad. El famosos gravitón. ¿Cómo obtener el gravitón?

Hay dos caminos. Por consideraciones técnicas se sabe que debe ser una particula de spin 2 (los bosones de las otras interacciones, fotón, gluones bosones W+- y Z) son de spin 1. Si se parte de un Lagrangiano para una partícula de spin 2 en un espacio plano (sin gravedad) y se aplican ciertas condiciones de consistencia se llega a una recursion que termina lelvando a las ecuaciones de Einstein (hay ahí muchas sutilezas, claro).

Otro camino es partir de las ecuaciones de Einstein. Voy a tratar este con calma porque es clave para la LQG. La relativdad especial se describe (en el formalismo de Minkowsky) por una métrica en un epsacio de 4 dimensiones (la cuarta es c.t, dónde c es la velocidad de la luz yt el tiempo). Esta métrica es "plana". Para entendernos, constante. Siempre puede reducirse (mediante un cambio de coorenadas), para cualquier punto a la forma de una matriz diagonal (-1,1,1,1). El campo gravitatorio modifica esa métrica y aunque localmente siempre puede reducirse a esa forma globalmente no. Digamos que vamos a tener una métrica dónde cada elemento de matriz es una función de las coordenadas y el tiempo.

Aclaro que es una métrica. es un objeto matemático (matriz, tensor, forma diferencial, depende del formalismo, pero para entendernos matriz nos vale) que permite medir longitudes de vectoes. La lingitud de un vector ordinario es |v|=sqrt(vx² + vy ² +vz²). Pués bien, si el vector tiene cuatro dimensiones su métrica será algo que genralizará esa expresion. y nos permite calcular su longitud. A partir de la longitud de dos vectores podemos calcular el ángulo que forman. Y midiendo ángulos podemos comprobar si vivismo en un espacio plano o en uno curvo. Vale, hasta aquí una minidivlgación de relatividad. Seguimos.

Las ecuaciones de Einstein son unas ecuaciones para la métrica. unas ecuaciones diferenciales. nos relacionan unas derivadas de la métrica, que representan la curvatura del espacio-tiempo con un término que reperesnta la energía (y por tanto masa) de la materia. Formalmente:

4. Curvatura= Tensor enegía momento.

Einstein llegó a esta ecuación mediante algo llamado "desviación geotética", pero no nos ocupamos ahora de eso. Son, las ecuaciones de Einstein, unas ecuaciones no lineales complicadas, que implican muchos conceptos resbaladizos y etc. Pero si recordais el principio de este post reocrdareis que os dije que la ec de Schröedinger vista sólo como ec perdía. Se ganaba mucho viéndola como proveniente de un hamiltoniano. Y este hamiltoniano proviene a su vez de un lagrangaino. ¿Existen lagrangianos y hamiltonianos para las ecs. de Einstein? Ahí queria yo llegar (de hecho podría haber empezado el post por aquí).

Lagrangianos si hay. Es fácil llegar a ellos. De hecho a mi me explicaron la RG partiendo de un Lagrangiano cuya expresion se obtenía por consideraciones de simetria (y "un poquito" de goemetria diferencial xD). A partir de ese Laggrangiano por las ecs de Euler-Lagrange se llegaba a las ecuacioens de Einstein. Vale, lagrangianos sí, ¿y el hamiltoniano? Uff, eso es otra historia, y el corazón de parte de la LQG. Pero antes otro inciso.

Os dije que los QFT querían gravedad a partir de particulas virtuales, el gravitón. Bien, el graviton ellos lo identificaban, en el formalismo geométrico, cómo una perturbación de la métrica. Formalmente g_μν=nsub>μν + hsub>μν (g es la métrica general, n la de minkowski y h la peerturbación o gravitón. La idea es expresar el lagrangiano de la RG en términos de esta división de la métrica y considerar la v cómo un campo. Este es un campo que se corresponde a una particula de spin 2. En realidad se puede usar este formalismo considerando perturbaciones respecto a métricas curvas. El primero en introducir esta idea fué Feynman y el primero en desarrollarla formalmente fué Bryce de Witt con el método del campo de fondo.. En QFT se pueden usar tanto el lagrangiano como el hamiltoniano para obtener matriz S. De Witt obtuvo mediante esta descomposición elementos de matriz S para el campo gravitatorio, eso sí de un modo muy lioso. Mas adelante t´hoof y Veltman (y luego otros) usaron los métodos de las por entonces triunfantes teorias gauge para expresar lo mismo en formas ligeramente mas sencillas.

Un momento, ¿he dicho que de Witt obtuvo expresiones para la matriz S? Entonces ¿no acaba ahí la historia? Pues no, claro. El problema es que esas expresiones llevaban a resultados infinitos. En realidad nada nuevo, las QFT siempre llevan a resultados infinitos. Lo que pasa es que algunas QFT permiten que se eliminen esos infinitos (son renormalizables) otras no. Las no renormalizables se consideran inútiles. Y la RG cuantizada de este modo salió no renormlalizable. La gente de QFT se encontraron, trabajando con la cromodinámica cuantica, con la necesidad (o mas bien conveniencia) de cuantizar objetos unidimensinonales, digamos cuerdas. Tras una serie de vueltas rocambolescas se vió que esas cuerdas tenían por ahí un graviton y ya se lió. Treinta años de teoria de cuerdas sin ningún resultado práctio, pero eso es otra historia, que díria el cornista de Conán el bárbaro.

Los puristas de RG vieron que esa cuantización de perturbaciones a la métrica desde su perspectiva era muy poco fiel al espíritu de la RG. Así que no les sorprendía que diera una teoria inconsistente. Así pués buscaron una teoria no perturbativa. Pero antes, mucho antes, buscaron un hamiltoniano. Ahí una vez mas tenemos a Bryce de Witt (el mismo que dirigió la tesis a Everet de la que surgió la interpretación de los muchos mundos de la mecáncia cuántica). Sin embargo este formalismo se conoce como formalismo ADM (Arnowitz, Desser Misner). Ellos trabajaron en este tema motivados por un aspecto interesante de la RG. Enel resto de teorías la energía es un concepto bien definido. En RG sin embargo no lo es. Una definición tentativa usa lo que se conocen como "pseudotensores" (expresiones que son tensoriales unicamente bajo un grupo restringido de transformaciones) como por ejemplo el de Landau-lipshitz, pero no son aplicables en general, y además no son nada elegantes. Se supone que el hamiltoniano debería dar una definición correcta de la energía aplicable en cualquier caso. En realidad no tuviern un éxito total, pero para casos asintóticamente minkowskianos funciono y dió lugar a lo que se llama masa ADM de un espacio-tiempo

Bien, obtener un hamiltoniano es muy compicado para la RG. Se tiene que seguir una serie de pasos un tanto sorprendentes. Lo primero es descoponer el espacio-tiempo en un producto (foliación) de espacio y tiempo (no entraré en conceptos de topologia), formalmente pondré T=ExR.

Bien, lo siguiente es intrudocur una métrica para el espacio tridimensional curvo E (o más bien una familia de espacios, uno para cada valor de la coordenada "temporal"). Aparte hay una función de paso entre el espacio en un "instante" t1 y uno t2 que se descompone en:

5. T= N +uS

Aquí T ya no es la energia cinética. Y hay subíndices varios de por medio que omito poner. Indico simplemente que N es la función de lapso y que S es el vecotr de desplazamiento (de una hipersuperficie a otra).

Bien, el truco consiste introducir una métrica intrínseca y una curvatura intrínseaca (referente al espacio tridmensinoal E) y expresar la métrica y curvatura en 4 dimeniones en términos de esta métrica y esta curvatura. La curvatura intrinseca se expresará en términos de las funciones lapso y vecotr desplazamiento indicados anteriormente. Pués bien, una vez hecho esto podeos plantear un lagrangiano en términos de estas nuevas variables. El lagrangiano "normal" no tiene nada clamanete identificable con "velocidades" o "momentos" que nos guien a buscar un hamiltoniano. El lagrangiano expresado en estas variables sí (no puedo entrar en detalles de que es cada cosa por motivos de las limitaciones para escribir fórmulas, y además tampoco aportaría mucho teniendo en cuanta que lo que estoy viendo ahora es un paso intermedio hacia la LQG)

Pero claro, no todo iba a ser tan fácil (cómo si hasta aquí hubiera sido fácil xD). Este lagrangiano es singular. Es decir, que los momentos no pueden despejarse a partir de las vleocidades. Hay ligaduras. Pero con ligaduras o sin ellas puede hber un hamiltoniano. el hamiltoniano contien lgaduras.

Ahora cuento una cosa que no conté en su momento. Un hamiltoniano con ligaduras tiene dos tipos de ecuaciones. Las normales hamilton y las deligadura. Como, eso sí, dije las ecuaciones de ligadura para el campo electromagnético es la ley de gauss. Esas ecuaciones de ligadura relacionan estados fisicos equivalentes. La otra parte del hamiltoninao que no es ligadura, dicta la evolución temporal de los estados físicos.

Pués bien, en RG tenemos un "pequeño problemilla". Resulta que el hamiltoniano no tiene ni una sola parte que no sea de ligadura. Por tanto no hay evoución temporal.

Bien, ya casi tenemos planteado el quid de la cuestión. El hamiltoniano este tiene dos ecuaciones de ligadura. una viene a representar la invariancia bajo cambio de coordenadas de la RG (invariancia bajo difeomorfismos dicho de otro modo).Es una ecuacion relativamente sencilla. La otra ec. de ligadura es mucho mas compleja, es no polinomial. Y tiene nombre propio. Se llama ecuación de Wheeler de Whitt. Viene a prepresentar la "fisica" del sistema.

Esta ecuacion es dificilisimas de resolver. Sólo en casos muy sencillos hay soluciones aproximadas. Son lo que se conocen como modelos de "miniespacio" o "minisuperespacio" (nada que ver con la supersimetría pese al nombre).

Bien, antes de exponer mas cosas voy con el Lagrangiano. Para ser exactos con el lagrangiano "normal". No he dicho nada pero el tratamiento de la QFT basado en lagrangianos parte de la integral de caminos de Feynman. La idea intuitiva es que una partícula cuántica recorre todas las trayectorias entre un punto y otro. Cada trayectoria contribuye a la integral de camino con un factor de exponencial imaginaria, e^-iS< dónde S es la acción(la integral del lagrangiano a lo largo de la trayectoria). De ese modo los estados que cumplen las ecuaciones clásicas son los que más contribuyen-los siguentes que mas contribuyen, si los hay, son los instantones-). Bien, esto para particulas puntuales. Un campo pasa por todas sus congiguraciones posibles y etc. Los detalles son terribles, claro. Aunque conceptualmente delicada y matemáticamente no muy bien definida la integral de caminos es muy potente para generar elementos de matriz S. Las teorias de campos gauge se cuantizan normalmente en formalismo lagrangiano (aunque también pueden cuantizarse con hamiltonianos) + integral de caminos.

Bien ¿puede aplicarse la integral de caminos a la RG? Ya dije que en forma perturbativa es lo que se habia hecho. Pero Hawking usó una pequeña variante, lo que se conoce como euclidean quantum gravity en que rota a un tiempo imaginario. La integral de caminos es casi incalculable para la RG, pero para ciertas configuracioens sencillas puede calcularse en una aproxiamción conocida cómo aproximación WKB (wenzel krammers brillouin). Y, curiosamente, esta aproximación nos lleva a una ecuación que, "curiosamente", es la ecuación de Wheller de Witt.

Nota, hasta ahora no he dado ninguna bibiliografía, creo que es hora de recomendar algo. Para el tema de la eucidean quantum gravity hay libros enteros, pero no me parece que merezca la pena leerlos pués no parece tener un gran futuro. Pero hay un librito que recoge unas conferencias de Hawking y Penrose que tratan en parte estos temas y que es fino, i.e. no muy extenso, y muy agradable de leer. Se llama "la naturaleza del espacio y el tiempo". La formulacion ADM de la gravedad viene explicad en los apéndices del famoso Wald De relatividad general.

Bien, pués hasta aquí por ahora. He introduicdo una seie de conceptos uqe situan el origen de la LQG, plantenan las dificultades que había en un momento dado. En otro futuro post indicaré cómo desde la via hamiltoniana se introducen unas nuevas variables (en vez de la méetrica la conexión) que dan un hamiltoninao de una estructura de ligaduras más secnila que puede resolverse en términos de funciones cilíndricas la primera y de spin networks la segunda (y explicaré como los lazos, willson loops, también resolvian esas ligaduras en versiones mas antiguas de la LQG). Explicaré cómo ese formalismo permite deducir que el área esta cuantizada. Explicaré que esa cuantizacion permite calcular la entropia de un agujero negro.

Tambien comentaré que en casos sencillos (siemtrias)hay variantes mas simples de la LQG que se aplican a la cosmologia (loop quantum cosmology) y a las singularidades de los agujeros negros. Expicaré el problema del tiempo en LQG canónica. Y explicaré que ese problema, entre otros motivos, lleva a otro punto de partida, las spin foams, que son una especie de version lagrangian y de integral de caminos de la LQG canínica (basada en hamiltonianos). Pero comentaré que los lagrangianos allí usados no son exactamente el deEinstein sno "más o menos equivalentes" y que hay varias aproximaciones.

También explicaré que hay el problema del limite clásico. No se puede a partirdel hamiltoninao llegar a un graviton a a un espacio de Minkowsky,y por tnto conectar con la RG clásica. En spin foams hay un cálculo de un propagador de un graviton, que sí daría esa conexión.

Y por supeusto explicaré las crícitas que les hacen los de cuerdas a la LQG.