Heterotic phenomenology

I have talked quite often in this blog about F-theory. This is partially due to "historical" reasons, that is, the F-theory GUT revolution happened recently, while this blog growth. Also the influence of a friend of mine to let learn algebraic geometry was a plus because F-theory relies a lot in that area of maths.
Of course another reason is that they are very good developed framework.

But that doesn't mean that there is not development in other areas of string theory. In particular from the eighties heterotic strings where the best candidate for a phenomenological model. Even today most books in string theory (such as the Becker- Becker-Swhartz one) use the heterotic to teach the math of compactification.

Today it has appeared an interesting paper in heterotic phenomenology so I will say a few things about the subject. Heterotic string/m-Theory models are mainly build by the compactification mechanism. In that aspect they differ from many advances in string theory phenomenology. The fact that a group of parallel N D-branes automatically give an U(n) gauge theory was an star point for building local models in which gravitational degrees of freedom can be ignored for many purposes. That derived in a lot of development of D-brane models in Type II A and type II B string models, and, later, the non-perturbative counterpart of type II-B, F theory, where in addition to D-branes one has (P,q) branes. In fact something is done about non local F-Theory models and some is made for M-theory from the duality among some F-theory and M-theory set ups. But here I am going to talk about the most conventional approach, full compactifications. I am not sure about it, but I think that the reason why not too much development in local M-theory models is because not too much is known for certain (despite the Bagger-Lambert minirevolution of two years ago) about the M-theory branes, although possibly that would apply better to type II A M-theory that to heterotic M-theory.

I am going now with some references. The article of today roots in his model of the year 2006: The Exact MSSM Spectrum from String Theory. I let here the abstract of the paper:

We show the existence of realistic vacua in string theory whose observable sector has exactly the matter content of the MSSM. This is achieved by compactifying the E_8 x E_8 heterotic superstring on a smooth Calabi-Yau threefold with an SU(4) gauge instanton and a Z_3 x Z_3 Wilson line. Specifically, the observable sector is N=1 supersymmetric with gauge group SU(3)_C x SU(2)_L x U(1)_Y x U(1)_{B-L}, three families of quarks and leptons, each family with a right-handed neutrino, and one Higgs-Higgs conjugate pair. Importantly, there are no extra vector-like pairs and no exotic matter in the zero mode spectrum. There are, in addition, 6 geometric moduli and 13 gauge instanton moduli in the observable sector. The holomorphic SU(4) vector bundle of the observable sector is slope-stable.

The observable sector of the theory has an SU(3)C × SU(2)L × U(1)Y × U(1)B−L gauge group. The B-L additional group is beyond the MSSM, but that is not as bad as it seems as they discuss in the paper of today. Additionally they have:

Matter spectrum:
– 3 families of quarks and leptons, each with a right-handed neutrino
– 1 Higgs–Higgs conjugate pair
– No exotic matter fields
– No vector-like pairs (apart from the one Higgs pair)

3 complex structure, 3 K¨ahler, and 13 vector bundle moduli

This sector is obtained by by two steps. First a Spin(10) group can arise from the
spontaneous breaking of the observable sector E8 group by an SU(4) gauge instanton
on an internal Calabi-Yau threefold. Later The Spin(10) group is then broken by discrete Wilson lines to a gauge group containing SU(3)C × SU(2)L × U(1)Y as a factor.

The structure of the hidden sector depends on the choice of a stable, holomorphic
vector bundle V ′. The topology of V ′, that is, its second Chern class, is constrained by two conditions: first, the anomaly cancellation equation:

$$ c2(V´) = c2(TX) - c2(V) - [W] $$

Here c2 means the second Chern class of the vector bundle V and [W] is a possible effective five-brane class. Ok, 'll stop writing the details that can be read in the paper. The important part is that they don't obtain in detail the aspects of the hidden sector (the sector of the other E8 group of the E8xE8 heterotic string). They simply assume it's existence.

Since 2006 that model has been further developed and has lead to this paper today: The Mass Spectra, Hierarchy and Cosmology of B-L MSSM Heterotic Compactifications

The two papers even share one co-author, Burt A. Ovrut. The abstract reads:

The matter spectrum of the MSSM, including three right-handed neutrino supermultiplets and one pair of Higgs-Higgs conjugate superfields, can be obtained by compactifying the E_{8} x E_{8} heterotic string and M-theory on Calabi-Yau manifolds with specific SU(4) vector bundles. These theories have the standard model gauge group augmented by an additional gauged U(1)_{B-L}. Their minimal content requires that the B-L gauge symmetry be spontaneously broken by a vacuum expectation value of at least one right-handed sneutrino. In previous papers, we presented the results of a quasi-analytic renormalization group analysis showing that B-L gauge symmetry is indeed radiatively broken with an appropriate B-L/electroweak hierarchy. In this paper, we extend these results by 1) enlarging the initial parameter space and 2) explicitly calculating all renormalization group equations numerically, without approximation. The regions of the initial parameter space leading to realistic vacua are presented and the B-L/electroweak hierarchy computed over these regimes. At representative points, the mass spectrum for all sparticles and Higgs fields is calculated and shown to be consistent with present experimental bounds. Some fundamental phenomenological signatures of a non-zero right-handed sneutrino expectation value are discussed, particularly the cosmology and proton lifetime arising from induced lepton and baryon number violating interactions.

Since the 2006 paper math sophistication has grown and in the way of the theory the have used things such as monads, spectral covers or cohomological methods to calculate the texture of Yukawa couplings and other parameters. The key ingredient is still a Calabi-Yau manifolds with Z3xZ3 homotopy and a vector bundle with SU(4) structure group. The observable matter spectrum is basically the same of the previous paper. As I said before they state that: The existence of the extra U(1)B􀀀L gauge factor, far from being being extraneous or problematical, is precisely what is required to make a heterotic vacuum with SU(4) structure group phenomenologically viable. The reason is the following. As is well-known, four-dimensional N = 1 supersymmetric theories generically contain two lepton number violating and one baryon number violating dimension four operators in the superpotential. The former,
if too large, can create serious cosmological di culties, such as in baryogenesis
and primordial nucleosynthesis , as well as coming into conflict with direct measurements of lepton violating decays.

Well, the details can be read in the paper. The important thing is that the model is mature enough to allow explicit and accurate renormalization group analysis of the effective field theory and do precise predictions of some aspects.

This is not the only line of investigation in heterotic string theory. As I have stated this gives mainly an MSSM but no unification group scheme is followed. But there are such kind of constructions. As early as in 2005 there is a paper doing such a thing from heterotic M-theory: An SU(5) Heterotic Standard Model-

The authors are Vincent Bouchard, Ron Donagi. and the abstract says:

We introduce a new heterotic Standard Model which has precisely the spectrum of the Minimal Supersymmetric Standard Model (MSSM), with no exotic matter. The observable sector has gauge group SU(3) x SU(2) x U(1). Our model is obtained from a compactification of heterotic strings on a Calabi-Yau threefold with Z_2 fundamental group, coupled with an invariant SU(5) bundle. Depending on the region of moduli space in which the model lies, we obtain a spectrum consisting of the three generations of the Standard Model, augmented by 0, 1 or 2 Higgs doublet conjugate pairs. In particular, we get the first compactification involving a heterotic string vacuum (i.e. a {\it stable} bundle) yielding precisely the MSSM with a single pair of Higgs.

If one reads the paper one can see that it cites the papers in heterotic string that are the basic of the other models. This can look a bit surprising since one article is about heterotic string (which has 10 dimensions)and the other about heterotic M-theory (which has 11 dimensions). Nut they actually work with compactifications in a calaby-Yau threfold. That is because the eleventh dimension of the heterotic M-theory has an special character and no compactification of is is done. On the contrary the type II A M-theory has a more conventional eleventh dimensions and it requires compactification on G2 holonomy bundles, which are harder to work. Well, I am far from being an expert in the heterotic phenomenology, but I thought that the today paper was a good occasion to say some things about it.

Besides this paper today there has been many other interesting papers. Fortunately Lubos has written an entry doing a brief comments on them and I prefer link you to that entry to get the info: A generous hep-th Tuesday

Update: In the Lubos entry (where very gently this post is linked, thanks Lubos ;)) the papers about heterotic phenomenology have been discussed and someone posted two papers about G2 heterotic compactifications, concretelly : http://arxiv.org/abs/0810.3285 and http://arxiv.org/abs/0905.1968.

It has also been discussed an issue about the prediction of the paper considered here saying that the mass of the Higgs boson was around 101 - 106 GeV. while the LEP had excluded with a 95% confidence level a Higgs mass minor than 114 GeV. Lubos argues that 95% is not enought to exclude the value f there are goo theoretical reasons to do s. I would add that Jester (resonance) wrote a post stating that the LEP exclusion ny worked for conventional Higgs. I don't remember the details so I can't say if that is relevant, but I recommend the readers of this blog to make a search in resonances.

One string to rule them all...

En este journal se ha hablado mucho sobre la teoría de cuerdas, pero, sin embargo, no se ha hecho nínguna exposicion formal de la misma, Bien, es tiempo ya de ser un poco mas precisos respecto a la teoria de cuerdas,

Empezamos por lo más sencillo, explicar que es una cuerda dentro de esta teoria. Bien, en realidad es la cosa mas sencilla del mundo, una cuerda (bosónica), matemáticamente, es una curva (real) que evoluciona en el tiempo. ¿Por que alguien se preocupó de trabajar en una cuerda cómo un objeto fundamental en vez de hacerlo con partículas puntuales? La respuesta, curiosamente, es "nadie". La primera motivación para ocuparse de una teoria de cuerdas proviene de la cromodinámica cuántica, o más bien al estatus de la físca de hadrones antes de aparecer la cromodinámica cuántica. Sin entrar en muchos detalles señalar que se sabe que el neutrón y el protón, las partículas que forman el núcleo atómico no son partículas elementales, estan formadas por (3) quarks. Esos quarks se describen por una teoria gauge, la SU(3). Lo curioso es que si los quarks, y las partículas que median su interacción, los gluones, deben formar estados ligados (protones, neutrones, y en realidad todas las partículas hadrónicas) debe haber algo que impida que haya quarks libres, que nunca se han observado. Eso llevó a que en un momento dado se propusiera un modelo fenomenológico bastante descriptivo. Los quarks estaban unidos por algún tipo de cuerda, es decir, existían cuerdas que tenían un quark en cada uno de sus extremos, el confinamiento (ausencia de quarks libres) se debería a que si se estiraba demasiado esa cuerda se rompía en dos nuevas cuerdas cada una con su pareja de quarks, en realidad un quark y un antiquark, en sus extremos (para el protón o neutron era necesario tres cuerdas unidas por un extrem oentre sí y con un quark en los otros extremos). Hacia falta ponerle mates a esa idea, y es lo que se hizo allá por el 75. El problema es que esa teoria tenía un "inconveniente", en su espectro aparecía una partícula de spin 2 que claramente no encajaba en el modelo de quarks, más adelante se reinterpreta la teoria de cuerdas cómo una teoria fundamental y esa partícula de spin 2 pasa a ser el gravitón. He hblado que en el espectro de una teoria de cuerdas hay partículas, bien, esto significa, hablando de manera simplificada, que las cuerdas vibran y que cada modo de vibración se identifica con algún tipo de partícula. Según esto cada partícula conocida sería un modo de vibración de una cuerda. Como ese rango de partículas incluye los fermiones (por así decirlo las partículas que forman la "materia") y los bosones (las partículas que median las interacciones entre la materia) tenemos que la teoria de cuerdas sería una teoria que explicaría toda la física conocida, serí auna teoria unificada. Y además sólo tiene un parámetro libre, la tensión de la cuerda, así pués con la media de un sólo parámetro se tendria el valor de todos los demás parámetros de la fisica pués sería deducibles matemáticamente a partir de esa tension. Tras este previo sobre fenomenológia, no especialmente riguroso, vamos con algo de mates.


En matemáticas, geometría diferencial básica (sin usar formalismo de variedades), una curva es un lugar del espacio de dimensión uno que puede, en un sistema de coordenadas, describirse mediante una parametrizacion.



Aquí σ es el parámetro que describe la curva y las X^μ son las coordenadas. El índice μ varia desde 0 hasta D-1, dónde D es la dimension del espacio-tiempo donde se situa la cuerda. Bien, esto es una curva, una cuerda es una curva que se deja evolucionar enel tiempo, es decir, que aparte de la dependencia en σ hará una dependencia en τ (tiempo propio).




Bien, esto es la "cinemática" de la cuerda, nada particularmente complicado, pasemos a la dinámica. Cómo se ha discutido por aquí, y es bien sabido, en física la dinámica suele inferirse a través de una función lagrangiana, ¿que lagrangiana debe describir la cuerda? Bien, hay dos posibles, la más sencilla, conocida cómo la de Nambu-Goto surge de generalizar el lagrangiano de una partícula libre en relatividad especial, que recordemos es:



dónde, cómo es habitual en física, el punto sobre la coordenada denota derivacion respecto al tiempo. Esta acción representa la longitud de la línea de universo de la partícula relativista, es decir, una partícula puntual, matemáticamente un punto, al evolucionar en el espacio-tiempo describe una rayectoria, parametrizada por el tiempo τ. La acción es la longitud (en la métrica de Minkowsky) de esa curva. Pués bien, una particula al evolucinar en el tiempo describe una curva. Una curva al evolucionar en el tiempo describe una superficie, ergo la acción de Nambu-Goto de la cuerda va a ser el área (minkowskiana) de esa superficie:



Bien, esta acción es sencilla de entender, mera genralización de la acción de la partícula clásica. El problema es que aparece una raiz cuadrada, y eso, cuando se quiere proceder a tareas de cuantización, es algo muy molesto. Así pués se prefiere usar otra accion, la de Polyakov. El truco es expresar el área mediante una métrica intrínseca de la superficie, denotada por h, en concreto tenemos:



dónde la fórma concreta para h es:



Bien, esta es la forma de la acción. En mecánica clásica una vez que tenemos la acción normalmente lo siguiente que hacemos es calcular las ecuaciones de movimiento asociadas a ella (ecuaciones de Euler-Lagrange). Pero antes de hacer eso hace falta señalar unos aspectos importantes. Esta acción, cómo muchas otras que aparecen en teoria cuántica de campos, tiene simetrias, es decir, existe un grupo de transformaciones de los campos que dejan invariante la acción. La accion de Polyakov tiene tres simetrías:

(i) Invariancia Poincaré , (ii) invariancia bajo difeomorfismos de la Worldsheet , y (iii)invariancia Weyl (invariancia de escala).

Estas invarianzas se expresan matematicamente en términos del tensor energía-momento, análogo al de la relatividad general, cuya expresión es:





La invarianza bajo difeomorfismos implica que este tensor (que nos da cuenta de la energía y el momento de la cuerda) debe conservarse, es decir:



La invarianza Weyl se traduce en: .

Bien, esto concluye la breve por ahora el análisis de las simetrías, vamos a poner la ecuación de movimiento:

*

Una vez se tiene la ecuación de movimiento se debe proceder a resolverla.

Habíamos dicho que teníamos siemtrías. La invariancia de la acción bajo esas simetría se traduce en que hay grupos de soluciones equivalentes. Necesitamos un modo de deshacernos de las soluciones redundantes, eso esta relacionado con las ligaduras de las que hablé en los post de LQG. No obstante sin necesidad de saber los detalles de la teoria de ligaduras de dirac podemos entender bastantes cosas, sigamos.

Cuando queremos resolver ecuaciones diferenciales (en este caso en derivadas parciales) se imponen condiciones de contorno. En este caso estas condiciones tiene interpretación cómo condiciones en los extremos de las cuerdas, tenemos cuerdas abiertas (condiciones de Neuman) y cerradas (Diritlech).

En realidad más adelante se comprobó que había mas detalles a tener en cuenta en esto en relacion conla teoria de branas, pero no merece la pena ocuparse de ello en esta introducción.

Tenemos las condicones de contorno, vamos a proceder a encontrar soluciones a la ecuación de movimiento (*). Para hacerlo hay primero que fijar un gauge, elegimos el conocido como gague conforme ahí la ecuacion de movimiento se reduce a la ecuación de Laplace y la solución nos queda para la cuerda cerrada:





y para la cuerda abierta:





dónde son la posición y el momento del centro de masas de la cuerda.

Bien, hasta aquí lo básico, la parte clásica. Enla cuantización, que no trataré en este post, los α de las dos últimas ecuaciones se convertirán en operadores de creación/aniquilación que se corresponderían con las partículas observadas en la fisica del modelo standard. Habrá que imponer la anulacion de la derivada del tensor de energía momento lo quedará lugar a la famosa álgebra de Virasoro. Y además habrá que comprobar que las simetriás de la teoria clásica se respetan, esto no es algo precisamente trivial, todo lo contrario, esas simetrías sólo se respetan si la dimensión (conocida como dimension crítica) en que se propaga la cuerdas es distinta de 4. Aquí he estado explicando la cuerda mas sencilla posible, la cuerda bosónica; para esta cuerda la dimension crítica es 26 (25+1). En realidad la cuerda bosónica no es realista, para empezar, cómo su nombre indica, no tiene nada mas que bosnoes en su espectro. Cuerdas realistas requieren fermiones, eso implica introducir supersimetría y así entramos en el reino de las supercuerdas, par estas la dimension crítica es 10 (9+1). Desde luego hay muchísimo más que decir sobre la teoria de cuerdas, no en vano un libro de 750 páginas tiene algunos capítulos que más que un libro de texto parece un rápido review de resultados, pero creo que lo expuesto puede servir de orientación de a que nos estamos enfrentando al hablar de teoria de cuerdas.