Había escrito, hace ya tiempo, una entrada sobre supersimetría, esta.
Continuo el tema introduciendo una realización de dicha supersimetría en
términos de un lagrangiano sencillo, lo que se conoce como el modelo de
Wess-Zumino. Quien no tenga muy recientes sus conocimientos de teoría cuántica
de campos, y en particular los tipos posibles de spinores, puede leer sobre
ello en esta
entrada de mi otro blog.
Este va a constar
de dos campos, un campo escalar complejo \[\phi\] formado por dos campos reales
A y B, \[\phi=(A+iB/\sqrt{2})\] y un campo spinorial de Majorana \[\psi\].
Ambos campos van a carecer de masa. El motivo para ello es que en la naturaleza
no se ha observado la supersimetría, lo cuál indica que caso de existir, la
supersimetría debe estar rota. Se supone que las partículas supersimétricas de
las partículas conocidas habrán adquirido masa a trvés de un proceso de ruptura
de esta supersimetría. Con estos ingredientes el término cinétco de nuestro
lagrangiano será.
1.\[ L=
\partial^{\mu} \phi^*\partial_{\mu}\phi ~ + ~ 1/2i\bar\Psi\displaystyle{\not}
\partial \Psi \]
Ese lagrangiano es
invariante bajo una tranformación SUSY global:
2. \[delta
A=\bar\epsilon\psi\]$\delta B=i\bar \epsilon\gamma_5 \psi\]
\[delta
\psi=-i\gamma^\mu[\partial_\mu (A + i \gamma_5B)]\epsilon\]
Donde\[epsilon\]
es el generador infinitesimal (asumo que el lector esta familiarizado con como
surgen los generadores infinitesimales de simetrías en mecánica cuántica y su
relación con las simetrías globales a través de la exponenciación) de la
supersimetría, un spinor infinitesimal de Majorana.
Puede verse que,
como se espera de una supersimetría, esta transformación nos cambia campos
bosónicos en campos fermiónicos. Para ser supersimétrica el lagrangiano debe
ser invariante bajo esta transformación. Se puede verificar que bajo ese cambio
la variación del lagrangiano es:
3.\[\delta
L=\partial_\mu[1/2\bar\epsilon\gamma^\nu(\displaystyle{\not}\partial(A +
i\gamma_5 B))\psi] \]
Este \[delta L\]es
una derivada total y por tanto no contribuye a la variación total de la acción
y , como anunciaba, hace que 1 sea un lagrangiano supersimétrico. En general
los lagrangianos supersimétricos no pueden ser invariantes bajo supersimetría,
salvo que sean constantes, y siempre debe entenderse la invarianza en el
sentido de que su variación es una derivada total.
Este lagrangiano
es adecuado para partículas libres. Si añadimos interacciones se encuentra que
le conmutador de dos transformaciones no es cerrado fuera de la capa de masas,
y por tanto no es adecuado. Para paliar eso deben añadirse dos campos bosónicos
extra, normalmente designados F y G, cuyo lagrangiano es:
4. \[ L= 1/2F^2 +
1/2 G^2 \]
La solución de la
ecuación de Euler Lagrange asociada al lagrangiano 4 es F=G=0 y por tanto estos
campos no tiene estados en la capa de masas, intervienen en la teoría sólo como
partículas virtuales intermedias.
Se ha descrito
hasta ahora como sería el lagrangiano para partículas sin masa. Nada impide
construir el lagrangiano para partículas con masa. El término de masa tendria
la forma:
5.\[L _m= m(FA +
GB -1/2\bar\psi \psi) \]
La forma mas
general de un término de interacción -renormalizable sería.
6.\[L_i= g/\sqrt{2}[FA^2 - FB^2 + 2GAB - \bar\psi(A -
i\gamma_5B)\psi] \]
Este sería el
modelo elemental de Wess-Zumino. Si uno pretende hacer teorías de campos
supersimétricas realistas debería trabajar con fermiones quirales zurdos. No es
especialmente complicado hacerlo, y repitiendo los pasos uno llegaría a una
expresión de los lagrangianos anteriores en términos de esos fermiones
quirales. El aspecto más interesante de ese desarrollo es que uno termina con
un lagrangiano que puede expresarse de la forma:
7.\[L = L_K -
|\partial W/\partial \phi|^2 ~ - ~ 1/2(\partial^2 W/\partial \phi^2\psi^T_L C
\psi_L + herm.conj) \]
Aquí $L_k$ sería
el término cinético para los campos correspondientes y W sería lo que se conoce
como el superpotencial. Este juega un papel importante en muchas discusiones
sobre supersimetría y será tratado con mas detalle en ulteriores entradas. Por
ahora decir que para el modelo sencillo que estamos considerando aquí su
expresión más general sería:
8.\[W= 1/2m\phi^2
~ + ~ 1/3 g\phi^3\]
En esta entrada se
ha presentado el que posiblemente sea el tratamiento mas sencillo posible de la
supersimetría. Actualmente es muy común usar el formalismo de supercampos. Este
se basa en la noción de superespacio. El superespacio es el resultado de añadir
a las componentes geométricas normales unas componentes "fermiónicas"
representadas como variables de Grassman. Un supercampo dependería de ambos
tipos de variables. Dadas las peculiares propiedades de las variables de
grassman es muy sencillo ver que un desrrollo en serie en términos de las
mismas es finito y que, por tanto, se puede dar una expresion general para un
supercampo. Cuando se hace eso para campos que solamente tengan spin 1/2 y y 0
se puede ver que el modelo de supercampos obtenido es equivalente a el modelo
de Wess-Zumino presentado aquí. Si además se impone que los campos fermiónicos
sean quirale se obtiene la versión quiral del modelo de Wess-Zumino. El supercampo
que cumple esas características es conocido cómo "supercampo quiral".
Por supuesto se pueden hacer construcciones supersimétricas para campos gauge
y, de ese modo, teorías gauge supersimétricas y análogos supersimétricos del
modelo standard. La extensión supersimétrica mas sencilla de el modelo standard
se conoce como MSSSM (minimal supersymetric stadard modell).
Aquí hemos tratado
la supersimetría global. Cuando esta se hace local aparece de manera natural la
gravitación y tendríamos teorias de supergravedad. Dado que la supersimétria no
esta realizada en el modelo standard se asume que si el universo presenta
supersimetría debe hacerlo en una versión con supersimetría rota. La ruptura de
supersimetría es un tópico complejo, y juega un papel fundamental en la mayoria
de modelos fenomenológicos que se postulan para extender el modelo standard de
partículas. Indirectamente eso significa que también juegan un papel en las
teorías de cuerdas, en sus diversas variantes. Por ejemplo la teoría F, la mas
desarrollada a nivel fenomenológico utiliza una variante del mecanismo de
supersimetría conocido como modelo de guidicce-massiero.
Se irán tratando
esos tópicos en posteriores entradas.
Finalizo diciendo
que estos posts siguen principalmente el libro de texto de P.D. B. Collins,
A.D. Martin y E.J Squires "Particle physics and cosmology". A eso he
añadido información adicional de los libros de M. Dine "Supersymmetry and
superstrings" y el volumen III de el libro de teoría cuántica de campos de
Steven Weinberg.
